Conditional หรือ Marginal? สองคำถามในโมเดลเดียว

บทคัดย่อ

โมเดลที่ fit ครั้งเดียวอธิบายการวัดชุดเดิมได้สองแบบโดยไม่ขัดแย้งกันเอง เมื่อ condition บนค่าชดเชยประจำตัว การวัดสี่ตำแหน่งเป็นอิสระต่อกัน คือ variance 3.75 และนอกเส้นทแยงมุมเป็นศูนย์ แต่ในระดับ marginal ที่ค่าประจำตัวถูกซ่อนไว้ การวัดชุดเดิมมี variance 10.00 covariance 6.25 และ correlation 0.625 บทความนี้เขียน matrix ทั้งสองทีละช่อง เชื่อมด้วยกฎ total mean, variance และ covariance และแสดงว่าผลต่างเท่ากับ 6.25 ทั้งสิบหกช่อง พร้อมตั้งชื่อสถานะที่สาม คือซองที่เปิดแง้ม ซึ่งมีค่าวัดแล้วแต่ยังไม่เห็นค่าประจำตัว ผู้อ่านจะเลือกได้ว่าคำถามวิจัยต้องใช้ matrix ตัวไหน และทำไมผลต่างภายในคนจึงมี SE 0.43 ส่วนค่าเฉลี่ยมี 0.50

---

ตอนที่ 3 จาก 8 ของซีรีส์ หนึ่งค่าต่อหนึ่งคน: เข้าใจ Linear Mixed Model ตั้งแต่รากฐาน. ตอนที่ 1 — ค่าชดเชยส่วนตัวที่ถูกแชร์ แสดงให้เห็นว่า random intercept คือค่าเดียวต่อหนึ่งคน ที่ถูกใส่ซ้ำแบบไม่เปลี่ยนแปลงลงในทุกแถวของคนคนนั้น และ ตอนที่ 2 — Compound Symmetry กับ ICC เปลี่ยนค่าที่ถูกแชร์ค่านั้นให้กลายเป็น covariance matrix ขนาด 4×4 เต็มรูป ที่มี 10.00 บนเส้นทแยงมุมและ 6.25 ในทุกช่องนอกเส้นทแยงมุม ตอนนี้เราจะเขียน matrix อีกตัวหนึ่ง ออกมา — ตัวที่ใช้เมื่อเรารู้ค่าประจำตัวของคนนั้นแล้ว — และจะเห็นว่าทำไมโมเดลที่ fit เพียงครั้งเดียวจึงรายงานคำอธิบายทั้งสองแบบของการวัดชุดเดียวกันได้โดยไม่ขัดแย้งกันเอง ส่วนตอนถัดไป V = ZGZ′ + R จะยุบเลขคณิตทั้งหมดของวันนี้ให้เหลือบรรทัดเดียว

ตัวเลขทุกตัวในซีรีส์นี้มาจากข้อมูลจำลองที่สร้างขึ้นเพื่อการสอน โดยมีชุดจำลองหลักหนึ่งชุด และมีชุดจำลองแบบแปรผันที่ระบุกำกับไว้ชัดเจนในตอนหลัง ๆ ไม่ใช่ผลการศึกษาจริง ไม่ได้อธิบายประชากรจริง และไม่ควรถูกอ้างอิงเป็นหลักฐานทางสรีรวิทยาผิวหนัง

ผลลัพธ์ที่ดูเหมือนพูดสองอย่างพร้อมกัน

นี่คือสถานการณ์ที่ทำให้คนจำนวนมากไปพิมพ์คำถามลงในช่องค้นหา คุณ fit โมเดลหลักของซีรีส์นี้ ซึ่งเป็นการศึกษา จำลอง แบบ cross-sectional ที่วัด transepidermal water loss (TEWL, g·m⁻²·h⁻¹) ที่ตำแหน่งผิวหนังปกติ (non-lesional) ที่กำหนดไว้ 4 ตำแหน่ง คือ forearm, hand, shin และ back ในผู้ใหญ่ 80 คน แบ่งเป็นผู้ป่วย atopic dermatitis ระดับปานกลาง 40 คน และผู้ที่ไม่มีโรคภูมิแพ้ 40 คน รวมทั้งสิ้น 320 observation ในดีไซน์ที่สมดุลสมบูรณ์

# Spec A — random intercept, pooled residual variance
library(nlme)
fitA <- lme(tewl ~ site * group + age + sex + phototype,
            random = ~ 1 | id, data = skin, method = "REML")

# equivalent in lme4
library(lme4)
fitA2 <- lmer(tewl ~ site * group + age + sex + phototype + (1 | id), data = skin)

* Stata equivalent of Spec A — ต้องใส่ reml เพราะ mixed ใช้ ML เป็นค่าตั้งต้น
mixed tewl i.site##i.group age i.sex i.phototype || id:, reml

จากนั้นผลลัพธ์ก็บอกคุณสองเรื่องที่ฟังดูเข้ากันไม่ได้ เรื่องแรกคือ residual ของโมเดลนี้เป็นอิสระต่อกันและใช้ variance ร่วมค่าเดียวเท่ากับ $\sigma^2 = 3.75$ ซึ่งเป็นสิ่งที่ random = ~ 1 | id แบบไม่ใส่ correlation structure สมมติไว้ตั้งแต่ต้น เรื่องที่สองคือโมเดลตัวเดียวกันนี้ให้ intraclass correlation เท่ากับ $\rho = 0.625$ แปลว่าการวัดทั้งสี่ตำแหน่งของคนคนเดียวกัน correlate กันค่อนข้างสูง เป็นอิสระต่อกันและ correlate กัน จากการ fit ครั้งเดียว ในเวลาเดียวกัน

ไม่มีอะไรผิดพลาดเลย ประโยคทั้งสองอธิบายตัวเลขชุดเดียวกันภายใต้ "สถานะของความรู้" ที่ต่างกัน และเนื้อหาทั้งหมดของบทความนี้คือเครื่องมือสำหรับแยกสองสถานะนั้นออกจากกัน

สองคำถาม กับสามสถานะของความรู้

ก่อนลุยของยาก: ลองนึกถึงคนไข้ที่คุณดูแลมานานหลายปี เมื่อเปิดแฟ้มของเขาวางอยู่ตรงหน้า ค่าที่วัดได้ของเขาก็ไม่ทำให้คุณแปลกใจอีกต่อไป เพราะคุณรู้อยู่แล้วว่าคนคนนี้มี "ระดับพื้นฐาน" ประมาณไหน แต่สำหรับคนไข้คนถัดไปที่ยังนั่งรออยู่หน้าห้อง ซึ่งคุณยังไม่เคยเปิดแฟ้มของเขาเลย ค่าชุดเดียวกันนั้นยังผูกกันอยู่ เพราะใครก็ตามที่พื้นฐานสูง ก็มักจะสูงพร้อมกันทุกค่า หัวข้อนี้ทั้งหัวข้อคือความต่างข้อนี้ เขียนให้ละเอียดพอที่จะแปลงเป็น matrix ได้

ถ้าถอดสัญลักษณ์ออกให้หมด ความต่างนี้คือความต่างเชิงคลินิก มีคำถามสองข้อที่ถามกับผู้เข้าร่วมวิจัยจำลองคนเดียวกันได้ และมันเป็นคนละคำถามกันจริง ๆ

คำถามแรกคือ "สำหรับผู้ป่วยที่อยู่ตรงหน้าคนนี้ ซึ่งเราถือว่ารู้ค่าประจำตัวของเขาแล้ว เราคาดว่าค่าที่แต่ละตำแหน่งจะเป็นเท่าไร" นี่คือคำถามแบบ conditional ซึ่งตอบด้วยโมเดลที่ condition บน $b_i$ — คือบนตัวค่าประจำตัวนั้นเอง ไม่ใช่บนความรู้สึกคร่าว ๆ ที่ได้มาทางอ้อม

คำถามที่สองคือ "สำหรับผู้ป่วยคนถัดไปที่จะเดินเข้ามาในคลินิก ซึ่งเรายังไม่รู้อะไรเลยเกี่ยวกับผิวของเขา เราคาดว่าค่าจะเป็นเท่าไร" ตรงนี้ค่าประจำตัวของคนนั้นไม่ได้แค่ "ไม่ได้วัด" แต่ "ยังไม่รู้" ในวินาทีที่คุณพูดประโยคนั้นออกมา นี่คือคำถามแบบ marginal ซึ่งตอบหลังจากเฉลี่ย $b_i$ ออกไปทั่วประชากรของคนแล้ว

มีข้อชี้แจงหนึ่งข้อที่ควรอยู่ตรงนี้ ไม่ใช่ในเชิงอรรถ เพราะ conditional matrix ที่จะพิมพ์ให้ดูต่อจากนี้ถูกต้องแบบเป๊ะ ๆ ก็ต่อเมื่ออ่านคำถามแรกอย่างเคร่งครัดเท่านั้น การได้เห็นค่าที่วัดของคนคนนั้นไปแล้วหนึ่งค่า เช่นค่าที่ forearm ไม่เท่ากับการรู้ $b_i$ เพราะการวัดหนึ่งครั้งแบก "ค่าประจำตัว" กับ "residual ของตัวมันเอง" มาด้วยกัน คือ $Y_{i,\text{forearm}} = \mu_{\text{forearm},g} + b_i + e_{i,\text{forearm}}$ มันจึง ให้ข้อมูล เกี่ยวกับค่าประจำตัว โดยไม่ได้ เปิดเผย ค่านั้น

ดังนั้นสถานะของความรู้จึงมีสามระดับ ไม่ใช่สอง ได้แก่ ซอง ปิดผนึก (ไม่รู้อะไรเลยเกี่ยวกับคนคนนี้), ซองที่ แง้มออกบางส่วน (มีค่าที่วัดแล้วซึ่งยังมี noise ปนอยู่ในมือหนึ่งค่าหรือมากกว่า) และซองที่ เปิดเต็มที่ (เห็น $b_i$ บนการ์ดจริง ๆ) covariance ที่ใช้กับสถานะกลางคือ posterior predictive covariance ซึ่งไม่ใช่ทั้ง $3.75\,I_4$ และไม่ใช่ matrix แบบ marginal แต่อยู่ระหว่างสองตัวนั้น และจะเข้าใกล้ $3.75\,I_4$ มากขึ้นเมื่อเราสังเกตตำแหน่งของคนคนนั้นได้มากขึ้น บทความนี้ทำงานกับสองขั้วสุดทาง เพราะนั่นคือ matrix สองตัวที่โมเดลรายงานออกมาจริง ส่วนสถานะกลางจะกลับมาอีกครั้งช่วงท้ายบทความ เพราะ $\widehat{b}_{i}$ ก็คือความพยายามที่จะขยับซองที่แง้มอยู่ให้เข้าใกล้ซองที่เปิดแล้วนั่นเอง

Mixed model ตอบได้ทั้งสองขั้ว เพราะมันถูกเขียนขึ้นเป็นข้อความสองชั้นตั้งแต่แรก คือชั้นภายในคน ที่ตรึง $b_i$ ไว้ กับชั้นระหว่างคน ที่อธิบายว่า $b_i$ กระจายอย่างไร ดังนั้นโมเดลที่ fit เสร็จแล้วตัวเดียวจึงมี covariance matrix ติดตัวมาสองตัวอย่างชอบธรรม และการอ่านผิดตัวก็คือความผิดพลาดในการตีความที่พบบ่อยที่สุดในวรรณกรรมเรื่องนี้

ซองจดหมายที่ปิดผนึก

ลองหยิบผู้เข้าร่วมวิจัยจำลองสี่คนจากตอนที่ 1 มาดูอีกครั้ง คอลัมน์ $b_i$ คือการ์ดที่อยู่ในซอง ส่วนค่าที่วัดได้ทั้งสี่ตำแหน่งคือสิ่งที่เรามองเห็นจริง

id	group	$b_i$	forearm	hand	shin	back
S01	control	+2.5	14.1	20.1	11.4	17.0
S02	control	−3.0	9.7	10.9	8.3	10.4
S03	AD	+0.8	17.6	27.2	14.2	18.9
S04	AD	−2.0	16.9	20.6	12.7	17.3

ในงานวิจัยจริงคอลัมน์นั้นไม่มีอยู่ ไม่มีใครยื่น $b_i$ ให้คุณ แต่ข้อมูลจำลองใจดีพอที่จะพิมพ์มันออกมา และนั่นแหละคือสิ่งที่ทำให้มันเป็นชุดข้อมูลเพื่อการสอน เราเปิดซองได้ คำนวณได้ แล้วปิดผนึกกลับ แล้วคำนวณแบบเดิมซ้ำอีกครั้ง คำตอบสองครั้งจะไม่เท่ากัน และส่วนต่างจะเท่ากับ $\tau^2$ พอดีในทุก ๆ ช่องของ matrix

เปิดซอง: conditional covariance matrix แบบคำนวณให้ดูทีละช่อง

ก่อนลุยของยาก: covariance matrix ไม่ใช่อะไรที่พิสดารไปกว่าตารางเล็ก ๆ หนึ่งตาราง ช่องบนเส้นทแยงมุมตอบคำถามว่า "ค่าที่วัดค่านี้แกว่งมากแค่ไหน" ส่วนช่องนอกเส้นทแยงมุมตอบว่า "เวลาค่านี้สูงกว่าค่าเฉลี่ย อีกค่าหนึ่งมักสูงตามไปด้วยหรือไม่" สองหัวข้อถัดจากนี้จะสร้างตารางเดียวกันนี้สองรอบจากค่าที่วัดชุดเดิม รอบหนึ่งเปิดแฟ้มคนไข้ อีกรอบหนึ่งปิดแฟ้มไว้ แล้วเติมทีละช่องด้วยมือ ถ้าคุณอ่านตาราง 4×4 ได้ คุณก็อ่าน matrix ทั้งสองตัวนี้ได้

ใช้ S01, S02 และ S03 โดยสมมติว่าซองถูกเปิดแล้ว โมเดลที่สร้างข้อมูลคือ

\[ Y_{ij} = \mu_{j,g(i)} + b_i + e_{ij}, \qquad b_i \sim N(0,\ \tau^2 = 6.25), \qquad e_{ij} \sim N(0,\ \sigma^2 = 3.75), \qquad b_i \perp e_{ij}, \qquad e_{ij} \perp e_{ik}\ (j \neq k) \]

โดยค่าเฉลี่ยประชากร $\mu_{j,g}$ ของกลุ่ม control เท่ากับ 12.0, 16.0, 10.0 และ 14.0 และของกลุ่ม AD เท่ากับ 18.0, 24.0, 13.0 และ 19.0 ที่ forearm, hand, shin และ back ตามลำดับ

เมื่อรู้ $b_i$ แล้ว สองพจน์แรกทางขวามือกลายเป็นค่าคงที่ สิ่งเดียวที่ยังสุ่มอยู่ในแถวนั้นคือ $e_{ij}$ ลบค่าคงที่ออก แล้วอ่าน residual ได้จากตารางตรง ๆ เลย

id	conditional mean $\mu_{j,g}+b_i$ (forearm / hand / shin / back)	residual $e_{ij}$ (forearm / hand / shin / back)
S01	14.5 / 18.5 / 12.5 / 16.5	−0.4 / +1.6 / −1.1 / +0.5
S02	9.0 / 13.0 / 7.0 / 11.0	+0.7 / −2.1 / +1.3 / −0.6
S03	18.8 / 24.8 / 13.8 / 19.8	−1.2 / +2.4 / +0.4 / −0.9

ให้กวาดสายตาไปตาม แถว ของ residual ไม่ใช่ไล่ลงตามคอลัมน์ ใน S01 เครื่องหมายเรียงกันเป็น ลบ บวก ลบ บวก ใน S02 เป็น บวก ลบ บวก ลบ และใน S03 เป็น ลบ บวก บวก ลบ การรู้ว่า residual ที่ forearm ของ S01 เท่ากับ −0.4 ไม่ได้บอกอะไรเลยเกี่ยวกับเครื่องหมายหรือขนาดของ residual ที่ hand เพราะในข้อมูลจำลองชุดนี้ $e_{ij}$ ทั้งสี่ค่าถูกสุ่มมาอย่างเป็นอิสระต่อกัน นี่คือความหมายเชิงปฏิบัติของคำว่า conditional independence

Matrix จึงเขียนตัวมันเองออกมา เมื่อตรึง $b_i$ ไว้ จะได้ $\operatorname{Var}(Y_{ij}\mid b_i)=\operatorname{Var}(e_{ij})=\sigma^2$ และ $\operatorname{Cov}(Y_{ij},Y_{ik}\mid b_i)=\operatorname{Cov}(e_{ij},e_{ik})=0$ สำหรับ $j \neq k$ นั่นคือ

\[ \operatorname{Var}(Y_i \mid b_i) \;=\; \begin{pmatrix} 3.75 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 3.75 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 3.75 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 3.75 \end{pmatrix} \;=\; 3.75\,I_4 \]

ทุกช่องนอกเส้นทแยงมุมเป็นศูนย์ และ conditional correlation เป็นศูนย์ทั้งหกคู่ พูดง่าย ๆ คือ เมื่อรู้ค่าประจำตัวของคนคนนี้แล้ว — ไม่ใช่แค่รู้ว่าเขาเป็นใคร และไม่ใช่แค่เห็นค่าที่วัดของเขาไปหนึ่งค่า — การวัดทั้งสี่ค่าของเขาไม่ได้ให้ข้อมูลเพิ่มเกี่ยวกับกันและกันเลย เกินไปกว่าที่ค่าเฉลี่ยของแต่ละตำแหน่งบอกไว้อยู่แล้ว

ปิดผนึกกลับ: marginal covariance matrix แบบคำนวณให้ดูทีละช่อง

ก่อนลุยของยาก: คราวนี้ลองราวด์วอร์ดโดยไม่มีแฟ้มคนไข้ในมือ คุณยังรู้ว่าคนไข้โดยเฉลี่ยที่แต่ละตำแหน่งเป็นอย่างไร ดังนั้นสิ่งเดียวที่คุณลบออกได้คือค่าเฉลี่ยนั้น ส่วนที่เหลือของแต่ละคนจึงยังแบก "ระดับพื้นฐานส่วนตัว" ของเขาติดอยู่ คนที่พื้นฐานสูงจึงสูงยกแผง และความ "หน้าตาคล้ายกัน" ระหว่างแถวของคนคนเดียวกันนี่เอง คือสิ่งที่ covariance วัด

ทีนี้ลองเอามือปิดคอลัมน์ $b_i$ ไว้ แล้วทำแบบเดิมอีกรอบ สิ่งเดียวที่คุณลบออกได้คือค่าเฉลี่ยประชากรของตำแหน่งนั้นในกลุ่มนั้น เพราะนั่นคือทั้งหมดที่นักวิเคราะห์ซึ่งมองไม่เห็นตัวคนจะรู้

id	ส่วนต่างจาก $\mu_{j,g}$ (forearm / hand / shin / back)
S01	+2.1 / +4.1 / +1.4 / +3.0
S02	−2.3 / −5.1 / −1.7 / −3.6
S03	−0.4 / +3.2 / +1.2 / −0.1

รูปแบบที่เมื่อครู่มองไม่เห็นเลย ตอนนี้เห็นชัดจนมองข้ามไม่ได้ S01 อยู่เหนือค่าเฉลี่ยของกลุ่ม control ทั้งสี่ตำแหน่ง และ S02 อยู่ต่ำกว่าทั้งสี่ตำแหน่ง เพราะแต่ละคนแบกออฟเซ็ตที่นักวิเคราะห์มองไม่เห็นติดตัวมาด้วย เอาส่วนต่างสองค่าจากคนเดียวกันมาคูณกัน ผลคูณจะเป็นบวกบ่อยกว่าที่ความบังเอิญจะยอมให้เกิด — และ covariance ก็ไม่ใช่อะไรอื่นเลยนอกจากค่าเฉลี่ยของผลคูณเหล่านั้น

ก่อนจะเข้าพีชคณิต ขอเตือนสองข้อ เพราะข้อมูลสามคนพิสูจน์อะไรไม่ได้ด้วยตัวมันเอง ข้อแรก S03 มีเครื่องหมายปนกัน เพราะ $b_i$ เท่ากับ +0.8 ซึ่งเล็กเมื่อเทียบกับ residual SD ที่ 1.94 ข้อที่สอง ค่า covariance 6.25 ที่จะได้ต่อจากนี้เป็นคุณสมบัติของพารามิเตอร์ในการจำลอง ไม่ใช่ค่าประมาณที่คำนวณจากสามแถวนี้ แถวข้อมูลทำหน้าที่แสดงกลไก ส่วนตัวเลขมาจากพารามิเตอร์

ทีนี้มาดูพีชคณิตทีละช่อง แทน $Y_{ij} = \mu_{j,g} + b_i + e_{ij}$ ลงไป และใช้ข้อเท็จจริงว่า $b_i$ กับ $e_{ij}$ ถูกสร้างขึ้นอย่างเป็นอิสระต่อกัน ช่องบนเส้นทแยงมุมคือ

\[ \operatorname{Var}(Y_{ij}) = \operatorname{Var}(b_i) + \operatorname{Var}(e_{ij}) = \tau^2 + \sigma^2 = 6.25 + 3.75 = 10.00 \]

และแต่ละช่องนอกเส้นทแยงมุม เมื่อ $j \neq k$ คือ

\[ \operatorname{Cov}(Y_{ij}, Y_{ik}) = \operatorname{Cov}(b_i + e_{ij},\, b_i + e_{ik}) = \underbrace{\operatorname{Var}(b_i)}_{6.25} + \underbrace{\operatorname{Cov}(b_i, e_{ik})}_{0} + \underbrace{\operatorname{Cov}(e_{ij}, b_i)}_{0} + \underbrace{\operatorname{Cov}(e_{ij}, e_{ik})}_{0} = 6.25 \]

สามในสี่พจน์หายไปตามโครงสร้างที่ตั้งไว้ ช่องนอกเส้นทแยงมุมทั้งหมดจึงคือ variance ของค่าที่ถูกแชร์ ไม่มีอะไรอื่นเจือปน ประกอบทั้งสิบหกช่องเข้าด้วยกัน แล้วหารแต่ละช่องด้วย $\sqrt{10.00 \times 10.00}$ เพื่อให้ได้ correlation

\[ \operatorname{Var}(Y_i) = \begin{pmatrix} 10.00 & 6.25 & 6.25 & 6.25\\ 6.25 & 10.00 & 6.25 & 6.25\\ 6.25 & 6.25 & 10.00 & 6.25\\ 6.25 & 6.25 & 6.25 & 10.00 \end{pmatrix}, \qquad \operatorname{Corr}(Y_i) = \begin{pmatrix} 1 & .625 & .625 & .625\\ .625 & 1 & .625 & .625\\ .625 & .625 & 1 & .625\\ .625 & .625 & .625 & 1 \end{pmatrix} \]

วาง matrix สองตัวไว้ข้างกัน แล้วเลขคณิตทั้งบทความนี้ก็ปรากฏในภาพเดียว ฝั่งหนึ่งคือ $3.75\,I_4$ อีกฝั่งคือ 10.00 บนเส้นทแยงมุมและ 6.25 ในทุกช่องที่เหลือ ระหว่างสองภาพนี้ไม่มีการเติมข้อมูลใหม่ลงไปแม้แต่แถวเดียว สิ่งเดียวที่เปลี่ยนคือซองถูกเปิดอยู่หรือไม่

อ่านเปเปอร์แล้วแปลว่าอะไร: ค่า ICC ที่เห็นในหัวข้อวิธีการเป็นปริมาณแบบ marginal คือบอกว่าแถวข้อมูลของคนคนเดียวกันเหมือนกันแค่ไหน "ก่อน" ที่จะใช้ตัวตนของคนคนนั้น ไม่ใช่บอกว่าเหลือ correlation อยู่ใน residual ของโมเดลเท่าไร

ถ้าอยากดูมันเกิดขึ้นมากกว่าจะอ่าน explorer จากตอนที่ 2 ถูกฝังไว้ให้อีกครั้งด้านล่าง ตั้งค่า $\tau^2 = 6.25$ และ $\sigma^2 = 3.75$ ที่ $k = 4$ แล้วกดปุ่ม conditional | marginal สลับไปมา สังเกตช่องนอกเส้นทแยงมุมที่โผล่ขึ้นมาและหายไป ขณะที่เส้นทแยงมุมขยับระหว่าง 3.75 กับ 10.00

กฎสามข้อที่เชื่อม matrix ทั้งสองเข้าด้วยกัน

ก่อนลุยของยาก: สูตรสามข้อถัดจากนี้ทำสิ่งเดียวกันหมด คือหยิบคำตอบที่ตั้งอยู่บนเงื่อนไขว่า "เรารู้จักคนไข้คนนี้แล้ว" มาเฉลี่ยข้ามคนไข้ทุกคนที่เราอาจเจอแทน ประโยคคลินิกธรรมดาสองประโยคก็ทำแบบเดียวกันอยู่แล้ว คือ "ค่าเฉลี่ยของค่าเฉลี่ยแต่ละวอร์ด ก็คือค่าเฉลี่ยของทั้งโรงพยาบาล" (ค่าเฉลี่ยไม่ขยับ) และ "ความแปรปรวนส่วนหนึ่งเกิดภายในคนไข้คนเดียวกัน อีกส่วนหนึ่งเกิดระหว่างคนไข้" (variance แยกเป็นสองก้อน) ส่วนข้อที่สามก็พูดเรื่องเดียวกันนี้กับ covariance พีชคณิตข้างล่างคือสามประโยคนี้ เขียนเป็นสัญลักษณ์เท่านั้นเอง

ความสัมพันธ์ระหว่างสองภาพนี้ไม่ใช่ข้อตกลงที่ใครกำหนดขึ้น แต่เป็นผลของทฤษฎีมาตรฐานสามข้อที่ใช้ต่อกันเป็นทอด ๆ แต่ละข้อรับปริมาณแบบ conditional เข้ามา เฉลี่ยมันทั่วการแจกแจงของ $b_i$ แล้วคืนปริมาณแบบ marginal ออกไป

ค่าเฉลี่ยไม่ขยับ ตาม law of total expectation

\[ E(Y_{ij}) = E_b\!\left[E(Y_{ij}\mid b_i)\right] = E_b\!\left[\mu_{j,g} + b_i\right] = \mu_{j,g} + 0 = \mu_{j,g} \]

เพราะ $b_i$ ถูกนิยามให้มีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์ ประโยคนี้ควรหยุดคิดสักครู่ เพราะมันคือเหตุผลที่ mixed model ดูไม่มีพิษภัยในกรณี linear คือ random intercept ขยับ covariance แต่ปล่อยโครงสร้างค่าเฉลี่ยไว้ที่เดิม สัมประสิทธิ์ fixed effect แบบ conditional และแบบ marginal จึงเป็นตัวเลขเดียวกันบนสเกลเดียวกัน ส่วนต่างระหว่างกลุ่มที่แต่ละตำแหน่งซึ่งเท่ากับ +6.0, +8.0, +3.0 และ +5.0 จึงมีความหมายเหมือนกันทั้งสองมุมมอง อย่างไรก็ตาม ความบังเอิญนี้เป็นคุณสมบัติของ identity link ไม่ใช่กฎทั่วไป และ ตอนที่ 7 จะมาทวงสัญญาข้อนี้ด้วย outcome แบบ binary ที่สัมประสิทธิ์ทั้งสองต่างกันจริง [1]

Variance แยกออกเป็นสองก้อน ตาม law of total variance

\[ \operatorname{Var}(Y_{ij}) = \underbrace{E\!\left[\operatorname{Var}(Y_{ij}\mid b_i)\right]}_{\text{average within-person variance} \;=\; \sigma^2 = 3.75} + \underbrace{\operatorname{Var}\!\left[E(Y_{ij}\mid b_i)\right]}_{\text{variance of the person means} \;=\; \tau^2 = 6.25} = 10.00 \]

สองพจน์นี้มีชื่อที่ควรพูดออกมาดัง ๆ พจน์แรกคือ "แต่ละตำแหน่งห่างจากโปรไฟล์ของเจ้าตัวแค่ไหน" เฉลี่ยข้ามคนทั้งหมด พจน์ที่สองคือ "คนแต่ละคนห่างจากกันแค่ไหน" ความแปรปรวนรวมที่สังเกตได้ในข้อมูลจำลองชุดนี้คือผลบวกของสองก้อน และ ICC ที่ 0.625 ก็คือก้อนที่สองเขียนเป็นสัดส่วนของทั้งหมด

อ่านเปเปอร์แล้วแปลว่าอะไร: คำว่า "variance component" ที่พิมพ์อยู่ในตารางของ mixed model ก็คือสองก้อนนี้พอดี คือก้อนภายในคนกับก้อนระหว่างคน และความแปรปรวนรวมที่ผู้อ่านเห็นก็คือผลบวกของสองก้อนนั้น

Covariance คือ "เศษที่ไม่เหลือ" บวก "ทุกอย่างที่มาจากการแชร์" ตาม law of total covariance เมื่อ $j \neq k$

\[ \operatorname{Cov}(Y_{ij},Y_{ik}) = \underbrace{E\!\left[\operatorname{Cov}(Y_{ij},Y_{ik}\mid b_i)\right]}_{=\,0} + \underbrace{\operatorname{Cov}\!\left[E(Y_{ij}\mid b_i),\,E(Y_{ik}\mid b_i)\right]}_{=\,\tau^2\,=\,6.25} = 6.25 \]

อ่านออกมาเป็นประโยคว่า ไม่มีอะไรเหลือแล้วเมื่อรู้ว่าเป็นใคร บวกกับทุกอย่างที่มาจากการที่การวัดสองค่านั่งอยู่บนคนคนเดียวกัน พจน์แรกเป็นศูนย์เพราะสมมติฐาน conditional independence ส่วนพจน์ที่สองเท่ากับ $\tau^2$ เพราะออฟเซ็ตที่ถูกแชร์ ดังนั้น marginal dependence จึงไม่ใช่สมมติฐานพิเศษที่ถูกแปะเพิ่มเข้าไปในโมเดล แต่เป็นผลทางเลขคณิตของสมมติฐานสองข้อที่ตั้งไว้ตั้งแต่แรก

ข้อเท็จจริงเดียวกันเขียนในภาษาของ density แทน moment ได้ด้วย

\[ p(Y_{i1},Y_{i2}) = \int p(Y_{i1}\mid b)\,p(Y_{i2}\mid b)\,p(b)\,db \;\neq\; p(Y_{i1})\,p(Y_{i2}) \]

ภายในอินทิกรัล density สองตัวคูณกันได้ ซึ่งก็คือ conditional independence นั่นเอง แต่พอเฉลี่ยผลคูณนั้นทั่วการแจกแจงของ $b$ การแยกตัวประกอบก็พังลง joint density ทางซ้ายจึงไม่เท่ากับผลคูณของ marginal density สองตัวทางขวา ที่นี่เราไม่ต้องอินทิเกรตอะไรทั้งสิ้น ประเด็นมีเพียงว่า การผสมสิ่งที่เป็นอิสระต่อกันเข้าด้วยกันบนค่าที่ถูกแชร์ซึ่งเรามองไม่เห็น ย่อมได้สิ่งที่ไม่เป็นอิสระต่อกันออกมา

ข้อพิสูจน์ที่ไม่ต้องใช้พีชคณิตเลย

ถ้าอินทิกรัลข้างบนยังดูเหมือนกลลวง ลองดูปรากฏการณ์เดียวกันด้วยตัวเลขเล็ก ๆ ที่ตรวจด้วยมือได้ ตัวอย่างนี้ไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของตัวอย่างหลักของซีรีส์ และตัวเลขถูกเลือกมาเพื่อความสะดวกในการคำนวณเท่านั้น

สมมติมีเหรียญอยู่โหลหนึ่ง ครึ่งหนึ่งของเหรียญออกหัวด้วยความน่าจะเป็น 0.8 อีกครึ่งหนึ่งออกหัวด้วยความน่าจะเป็น 0.2 และคุณแยกสองชนิดนี้ด้วยตาเปล่าไม่ได้ หยิบมาหนึ่งเหรียญ แล้วโยนสองครั้ง ภายในเหรียญเดียวกัน การโยนสองครั้งเป็นอิสระต่อกันอย่างไม่มีข้อสงสัย ไม่ใช่เพราะ "เหรียญไม่มีความทรงจำ" แต่เพราะเมื่อชนิดของเหรียญถูกตรึงไว้แล้ว การโยนทั้งสองครั้งคือการสุ่มจากการแจกแจง Bernoulli ตัวเดียวกัน เหมือนกับที่ $e_{ij}$ ทั้งสี่ค่าเป็นอิสระต่อกันเมื่อ $b_i$ ถูกตรึงไว้

ทีนี้คำนวณความน่าจะเป็นสองค่าที่สำคัญ ในระดับ marginal การโยนหนึ่งครั้งออกหัวด้วยความน่าจะเป็น $0.5 \times 0.8 + 0.5 \times 0.2 = 0.5$ ผลคูณของ marginal สองตัวจึงเท่ากับ $0.5 \times 0.5 = 0.25$ แต่ความน่าจะเป็นร่วมที่จะออกหัวทั้งสองครั้งคือ $0.5 \times 0.8^2 + 0.5 \times 0.2^2 = 0.5(0.64) + 0.5(0.04) = 0.34$ ซึ่งมากกว่า 0.25 ดังนั้น covariance เท่ากับ $0.34 - 0.25 = 0.09$ และเนื่องจากการโยนแต่ละครั้งมี variance เท่ากับ 0.25 correlation จึงเท่ากับ $0.09/0.25 = 0.36$

การโยนสองครั้งของเหรียญหนึ่งเหรียญเป็นอิสระต่อกัน และการโยนสองครั้งของเหรียญที่ไม่รู้ชนิดจากโหลนี้ correlate กัน ทั้งสองประโยคเป็นจริงอย่างเคร่งครัด ชนิดของเหรียญคือซองที่ปิดผนึก และ $b_i$ ก็ทำหน้าที่ในตัวอย่าง TEWL เหมือนกับที่ชนิดของเหรียญทำหน้าที่ตรงนี้

พ่อแม่หนึ่งคน ลูกสี่คน

มีวิธีเล่าเรื่องเดียวกันด้วยภาพ ซึ่งหลายคนเข้าใจได้เร็วกว่า ให้วาด $b_i$ เป็นโหนดเดียวที่มีลูกศรสี่เส้นชี้ลงไปยังการวัดทั้งสี่ตำแหน่ง การวัดสองค่าจากคนเดียวกันมี "พ่อแม่ร่วมกัน" ความสัมพันธ์จึงไหลผ่านเส้นทางที่เปิดอยู่ผ่าน $b_i$ ระหว่างการวัดทั้งสอง เมื่อไรที่เรา condition บน $b_i$ — คือเปิดซอง — เส้นทางนั้นก็ถูกปิด และการวัดสองค่าก็ไม่สัมพันธ์กันอีกต่อไป

ขอเตือนหนึ่งข้อไว้ในย่อหน้าเดียวกันนี้ ไม่ใช่ในเชิงอรรถ เพราะนี่คือจุดที่การเปรียบเทียบแบบนี้ถูกใช้ผิดเป็นประจำ แผนภาพข้างต้นเป็นเครื่องมือสำหรับคิดเรื่อง โครงสร้างการขึ้นต่อกัน (dependence structure) เท่านั้น และ $b_i$ เป็นปริมาณทางสถิติที่มองไม่เห็น ไม่ใช่สาเหตุทางชีววิทยาที่วัดได้ ไม่มีอะไรในบทความนี้ที่อนุญาตให้สรุปว่ามีปัจจัยทางสรีรวิทยาบางอย่าง "ทำให้" ผิวรั่วง่ายขึ้นพร้อมกันทั้งสี่ตำแหน่ง และข้อมูลจำลองก็สนับสนุนข้อสรุปแบบนั้นไม่ได้อยู่ดี ต่อให้มันถูกเก็บมาจากคลินิกจริง

ค่า BLUP มีไว้ทำอะไร และไม่ได้มีไว้ทำอะไร

ก่อนลุยของยาก: แพทย์ทุกคน "หดค่า" อยู่แล้วในชีวิตประจำวัน เพียงแต่ไม่ได้เรียกชื่อมันแบบนี้ ค่าโพแทสเซียมที่ผิดปกติเพียงครั้งเดียวในคนไข้ที่ไม่เคยผิดปกติมาก่อน เราไม่เชื่อเต็มร้อยทันที แต่ชั่งน้ำหนักกับสิ่งที่รู้เกี่ยวกับคนไข้คนนั้นและเกี่ยวกับคนไข้โดยทั่วไป โปรแกรมทำแบบเดียวกันเป๊ะเมื่อมันทำนายค่าประจำตัวของแต่ละคน เหลือเพียงคำถามเดียวคือมันดึงกลับแรงแค่ไหน

โปรแกรมยินดีจะยื่น $\widehat{b}_{i}$ หรือค่า random effect ที่ทำนายได้ ซึ่งมักเรียกกันว่า BLUP ให้คุณอย่างง่ายดาย จึงควรพูดให้ชัดว่าสิ่งนั้นคืออะไร

$\widehat{b}_{i}$ ไม่ใช่พารามิเตอร์ที่ถูกประมาณค่าในความหมายเดียวกับ $\tau^2$ แต่เป็นการ ทำนาย ปริมาณสุ่มที่เราไม่ได้สังเกต โดยคำนวณเป็นการประนีประนอมระหว่างสิ่งที่ข้อมูลของคนคนนี้บอก กับสิ่งที่การแจกแจงของประชากรบอกว่าเป็นไปได้ ค่าที่ทำนายได้จึงถูก หดเข้า (shrunk) เข้าหาศูนย์เมื่อเทียบกับส่วนต่างเฉลี่ยดิบของคนคนนั้น ด้วยตัวประกอบ $\tau^2 / (\tau^2 + \sigma^2/k)$ คนที่มีการวัดน้อยครั้งหรือมี residual variance สูงจะถูกดึงเข้าหาค่าเฉลี่ยประชากรแรงกว่าคนที่มีการวัดหลายครั้งและแม่นยำ

ปริมาณที่เป็นตัวตัดสินว่าแรงดึงนี้จะแรงแค่ไหน ควรถูกเรียกให้ถูกตัว เพราะมักถูกอธิบายผิดอยู่เสมอ มันไม่ใช่การเทียบ $\tau^2$ กับ $\sigma^2$ ซึ่งในข้อมูลจำลองชุดนี้เป็นอัตราส่วนเพียง 1.67 เท่านั้น แต่เป็นการเทียบ $\tau^2$ กับ $\sigma^2/k$ เพราะหลักฐานของคนคนนั้นคือค่าเฉลี่ยจากการวัด $k$ ครั้ง ไม่ใช่การวัดครั้งเดียว นั่นคือ $6.25 / (6.25 + 3.75/4) = 6.25/7.1875 = 0.87$ ออฟเซ็ตที่ทำนายได้จึงถูกดึงกลับเพียงราว 13% เท่านั้น ถ้าดีไซน์นี้วัดคนละหนึ่งตำแหน่งแทนที่จะเป็นสี่ตำแหน่ง variance component ชุดเดิมจะให้ $6.25/10.00 = 0.625$ คือถูกดึงกลับถึง 37.5% ดังนั้นการที่ shrinkage ในดีไซน์จำลองนี้มีไม่มากนัก จึงมาจากการวัดซ้ำหลายครั้งเป็นหลัก ไม่ใช่จากขนาดของ $\tau^2$ เมื่อเทียบกับ $\sigma^2$

มีการใช้งานที่ชอบธรรมอยู่สามแบบ และมีหนึ่งแบบที่ไม่ใช่ แบบแรก $\widehat{b}_{i}$ มีประโยชน์ในเชิง diagnostic เพราะ normal quantile plot ของออฟเซ็ตที่ทำนายได้เป็นหนึ่งในการตรวจสอบมาตรฐานของสมมติฐานการแจกแจงของ random effect แบบที่สอง มันคือสิ่งที่ต้องใช้ในการทำนายระดับบุคคล ซึ่งก็คือคำถามแบบ conditional ในสถานะกลางที่พูดถึงไว้ตั้งแต่ต้นบทความ คือถามกับคนที่คุณแง้มซองของเขาออกไปได้เพียงบางส่วน แบบที่สาม มันทำให้แนวคิดเรื่อง shrinkage จับต้องได้เวลาสอน ส่วนสิ่งที่ $\widehat{b}_{i}$ ไม่ใช่ คือตัวแปรผลลัพธ์ระดับบุคคลสำหรับเอาไปวิเคราะห์ต่อ การเอาออฟเซ็ตที่ทำนายได้ไปใช้ราวกับเป็นข้อมูลที่สังเกตจริงแล้ว regress กับ covariate เป็นการละเลยทั้งความไม่แน่นอนของการทำนายและการหดเข้าของมัน ซึ่งอาจให้ความสัมพันธ์ที่ถูกลดทอนพร้อมกับ standard error ที่เล็กเกินจริงไปมาก

ทำไมโมเดลจึงรายงาน 0.43 ในที่ที่คุณคาดว่าจะเห็น 0.50

ก่อนลุยของยาก: หัวข้อนี้อธิบายว่าทำไมการเทียบคนไข้กับตัวเขาเองจึงชนะการเทียบคนไข้สองคนที่ต่างกัน เมื่อคุณเอาสองตำแหน่งของคนเดียวกันมาลบกัน อะไรก็ตามที่ทำให้คนคนนั้นมีค่าสูงจะอยู่ทั้งสองฝั่งของการลบ แล้วตัดกันหายไป แต่เมื่อเทียบคนไข้ในกลุ่มหนึ่งกับคนไข้อีกกลุ่มหนึ่ง ไม่มีอะไรตัดกันเลย ระดับพื้นฐานส่วนตัวของทั้งสองคนยังนั่งอยู่ในคำตอบ เลขคณิตข้างล่างคือประโยคนี้ และคือเหตุผลที่ผลต่างภายในคนได้ standard error เล็กที่สุดในสามค่า

ผลพวงที่น่าเชื่อถือที่สุดของเรื่องทั้งหมดนี้มาปรากฏในคอลัมน์ standard error และมันคือข้อเท็จจริงที่ตอนที่ 1 สัญญาไว้ และ ตอนที่ 8 จะเอาไปใช้ป้องกันตัวต่อหน้าอาจารย์

ขอเก็บงานสองข้อก่อน เพราะตัวเลขสามค่านี้เดินทางไกลกว่าตัวเลขอื่นในซีรีส์ ข้อแรก สูตรปิดที่จะเห็นต่อจากนี้เป็นค่าที่แทนค่า variance component ของการจำลองลงไปตรง ๆ สำหรับโมเดลค่าเฉลี่ยรายเซลล์แบบสมดุลที่ไม่มี covariate ขณะที่โค้ดตอนต้นบทความยังใส่ age, sex และ phototype เข้าไปด้วย การปรับด้วย covariate ที่คงที่ภายในคนจะขยับตัวเลขฝั่งระหว่างคนไปเล็กน้อย — ขยับเท่าไรขึ้นกับว่า covariate เหล่านั้นกระจายตัวอย่างไรในตัวอย่างจริง — แต่ไม่แตะตัวเลขฝั่งภายในคนเลย เพราะ covariate ที่คงที่ภายในคนตัดกันไปในผลต่างภายในคน ด้วยเหตุผลเดียวกับที่ $b_i$ ตัดกันไป ข้อที่สอง โมเดลที่ fit จริงพิมพ์ค่าประมาณของ variance component ออกมา ไม่ใช่ค่าที่ใช้สร้างข้อมูล ผลลัพธ์ในเครื่องคุณจึงจะต่างออกไปในทศนิยมตำแหน่งที่สองหรือสาม ทั้งสองข้อนี้ไม่กระทบสิ่งที่จะเปรียบเทียบต่อไป เพราะสิ่งที่เราเปรียบเทียบคือโครงสร้าง ไม่ใช่ตัวเลขทีละหลัก

ภายใต้ Spec A ที่มีผู้เข้าร่วม $n = 40$ คนต่อกลุ่มและดีไซน์สมดุล standard error ของค่าเฉลี่ยหนึ่งตำแหน่งภายในหนึ่งกลุ่มคือ

\[ \operatorname{SE}(\widehat{\mu}_{j}) = \sqrt{\frac{\tau^2+\sigma^2}{n}} = \sqrt{\frac{10.00}{40}} = 0.50 \]

นิพจน์นี้บรรจุ variance แบบ marginal คือ 10.00 เอาไว้ เพราะค่าเฉลี่ยของตำแหน่งหนึ่งคือการเฉลี่ยข้ามคนที่ตัวประมาณค่ามองไม่เห็นออฟเซ็ตของพวกเขา และค่าเฉลี่ยของสองตำแหน่งที่ประมาณจากผู้เข้าร่วม 40 คนชุดเดียวกันก็ correlate กันเองด้วย โดยมี covariance เท่ากับ $\tau^2/n = 0.15625$ ด้วยเหตุผลเดียวกับที่อธิบายไปข้างต้นทุกประการ

ทีนี้ลองดู contrast ภายในคนอย่าง forearm − back ภายในกลุ่มเดียวกัน variance ของมันคือผลบวกของ variance สองตัว ลบด้วยสองเท่าของ covariance

\[ \operatorname{Var}(\widehat{\mu}_{\text{forearm}} - \widehat{\mu}_{\text{back}}) = 0.25 + 0.25 - 2(0.15625) = 0.1875, \qquad \operatorname{SE} = \sqrt{0.1875} = 0.43 \]

ค่า 0.1875 ตัวเดียวกันนี้มาถึงได้โดยตรงจากฝั่ง conditional เช่นกัน เพราะ $b_i$ ตัดกันหมดเมื่อเราลบคนคนเดียวกันด้วยตัวเอง เหลือไว้แต่ความแปรปรวนของ residual คือ $2\sigma^2/n = 7.50/40 = 0.1875$ สองเส้นทางให้คำตอบตรงกันเพราะมันคือการคำนวณเดียวกัน

เอา 0.43 ไปวางเทียบกับ contrast ระหว่างคนที่ตำแหน่งเดียว คือ AD ลบ control ซึ่งมี $\sqrt{2(\tau^2+\sigma^2)/n} = 0.71$ การเปรียบเทียบภายในคนแม่นยำกว่า ทั้งที่ประมาณมาจาก 320 แถวชุดเดียวกัน เหตุผลไม่ใช่ว่า contrast ตัวหนึ่งอยู่ในโลกแบบ conditional ส่วนอีกตัวอยู่ในโลกแบบ marginal แต่เป็นเพราะผลต่างภายในคนมีน้ำหนักบน $b_i$ เท่ากับศูนย์ variance แบบ conditional กับแบบ marginal ของมันจึงเป็นค่าเดียวกัน และออฟเซ็ตที่ถูกแชร์ไม่ได้เข้ามาในการคำนวณจากทางไหนเลย ส่วน contrast ระหว่างกลุ่มไม่มีการตัดกันแบบนั้น เพราะมีออฟเซ็ตคนละ 40 ชุดนั่งอยู่คนละฝั่งของมัน ดังนั้นดีไซน์ที่วัดสี่ตำแหน่งในคนเดียวกันจึงซื้อความแม่นยำให้คำถามภายในคนได้ ในแบบที่เลขคณิตเท่าไรก็ซื้อให้คำถามระหว่างคนไม่ได้

อ่านเปเปอร์แล้วแปลว่าอะไร: ถ้าตารางผลรายงาน standard error ของการเปรียบเทียบภายในคน เล็กกว่าของค่าเฉลี่ยรายกลุ่มที่วางอยู่ข้าง ๆ กัน นั่นคือรูปแบบที่ควรเป็น ไม่ใช่การพิมพ์ผิด

บทความนี้ไม่ได้อนุญาตให้สรุปอะไรบ้าง

มีการอ่านเกินอยู่สี่แบบที่พลาดกันง่ายมาก และแบบแรกคือแบบที่ผมเห็นบ่อยที่สุด

ข้อแรก conditional independence เป็น สมมติฐานของโมเดลนี้ ไม่ใช่คุณสมบัติของผิวหนังที่ถูกค้นพบ Spec A ถูกจำลองขึ้นด้วย residual ที่เป็นอิสระต่อกัน matrix แบบ conditional จึงเป็นแนวทแยงอยู่แล้วโดยธรรมชาติ ในข้อมูลจริง การวัดที่อยู่ติดกันอาจมี residual dependence ที่ออฟเซ็ตระดับบุคคลดูดซับไม่ได้ และมีแต่ diagnostic เท่านั้นที่จะบอกคุณได้

ข้อที่สอง การที่โครงสร้างค่าเฉลี่ยแบบ conditional และ marginal เท่ากันเป็นคุณสมบัติของ linear model ที่ใช้ identity link มันไม่ขยายไปสู่กรณีทั่วไป และการเหมาว่ามันขยายได้ก็คือความผิดพลาดที่ตอนที่ 7 มีอยู่เพื่อแก้โดยเฉพาะ

ข้อที่สาม marginal correlation 0.625 ไม่ใช่ค่าสัมประสิทธิ์ความเชื่อถือได้ (reliability) แม้เลขคณิตที่ผลิตมันออกมาจะเป็นเลขคณิตชุดเดียวกับที่ผลิต reliability ICC ในที่นี้มันเป็นพารามิเตอร์ของโครงสร้างรบกวนที่อธิบายว่าแถวข้อมูลเกาะกลุ่มกันภายในคนอย่างไรเท่านั้น

ข้อที่สี่ ไม่มีอะไรในบทความนี้บอกว่าโมเดลแบบ conditional ดีกว่าแบบ marginal หรือกลับกัน ทั้งสองตอบคนละคำถาม และการเลือกเป็นของคำถามวิจัย ไม่ใช่ของโปรแกรม

จะเอาไปใช้กับงานของคุณอย่างไร

ข้อแรก เขียนคำถามวิจัยของคุณลงกระดาษก่อนจะอ่าน output ใด ๆ แล้วตัดสินให้ชัดว่ามันเป็นข้อความเกี่ยวกับ คนคนหนึ่ง หรือเกี่ยวกับ ประชากร คำตอบตรงนี้เป็นตัวกำหนดว่าคุณควรอ้าง matrix ตัวไหน

ข้อที่สอง เวลารายงาน ICC หรือการแบ่งสัดส่วน variance ควรระบุให้ชัดว่ามันเป็นปริมาณแบบ marginal ที่คำนวณจาก variance component ที่ประมาณได้ และควรรายงาน $\widehat{\tau}^{2}$ กับ $\widehat{\sigma}^{2}$ ควบคู่ไปด้วย เพื่อให้ผู้อ่านประกอบอัตราส่วนนั้นขึ้นมาเองได้

ข้อที่สาม เวลารายงาน contrast ภายในคนที่มี standard error เล็กกว่าค่าเฉลี่ยรายตัว ควรพิจารณาเติมประโยคหนึ่งบรรทัดอธิบายว่า person effect ที่ถูกแชร์ตัดกันไปในผลต่าง มิฉะนั้นผู้ประเมินอาจอ่านตัวเลขที่เล็กกว่านั้นว่าเป็นความผิดพลาด

ข้อที่สี่ ให้ถือว่า conditional independence ของ residual เป็นสมมติฐานที่ต้องตรวจสอบ ไม่ใช่ความจริงตายตัว กราฟ residual เทียบ fitted แยกตามตำแหน่ง และรูปแบบของ residual ภายในคน อาจบ่งชี้โครงสร้างที่ random intercept ยังดูดซับไม่หมด ซึ่งเป็นประตูที่ตอนที่ 5 และ 6 จะเดินผ่านเข้าไป

ข้อที่ห้า ถ้าคุณดึง $\widehat{b}_{i}$ ออกมาใช้เพื่ออะไรก็ตามที่เกินกว่างาน diagnostic หรือการทำนายระดับบุคคล ควรระบุให้ชัดว่าคุณเอาไปทำอะไร และเหตุใดการหดเข้ากับความไม่แน่นอนของการทำนายจึงไม่ทำให้ข้อสรุปปลายทางเสียไป

สรุปประเด็นสำคัญ

• เมื่อ condition บน $b_i$ — คือบนตัวออฟเซ็ตเอง ไม่ใช่บนการที่เราเห็นค่าที่วัดของคนคนนั้นไปแล้วหนึ่งค่า — การวัดจำลองทั้งสี่ค่ามี covariance matrix เท่ากับ $3.75\,I_4$ คือ variance 3.75 และทุกช่องนอกเส้นทแยงมุมเป็นศูนย์ เพราะพจน์สุ่มเดียวที่เหลืออยู่ในแถวคือ $e_{ij}$
• ในระดับ marginal การวัดชุดเดียวกันนั้นมี variance 10.00 และ covariance 6.25 ในทุกช่องนอกเส้นทแยงมุม ให้ correlation เท่ากับ 0.625 และส่วนต่างระหว่างสอง matrix คือ $\tau^2 J_4$ นั่นคือเท่ากับ 6.25 ในทั้งสิบหกช่อง
• ซองที่แง้มออกบางส่วนเป็นสถานะที่สาม และเป็นสถานะที่เวชปฏิบัติจริงมักอยู่ ค่าที่วัดได้หนึ่งค่าให้ข้อมูลเกี่ยวกับ $b_i$ โดยไม่เปิดเผยมัน และ covariance ที่ใช้ในสถานะนั้นอยู่ระหว่าง matrix สองตัวข้างต้น
• กฎของ moment รวมทั้งสามข้อเชื่อมทั้งสองเข้าด้วยกันอย่างพอดี ค่าเฉลี่ยไม่เปลี่ยน variance แยกเป็น 3.75 ภายในบวก 6.25 ระหว่าง และ covariance เท่ากับศูนย์บวก 6.25
• ความเป็นอิสระภายในชั้นหนึ่งกับการขึ้นต่อกันเมื่อผสมข้ามชั้นเป็นจริงพร้อมกันได้ ดังที่ตัวอย่างเหรียญสองชนิดแสดงด้วย 0.34 เทียบกับ 0.25 ในบริบทที่ไม่ต้องใช้พีชคณิตเลย
• ผลตอบแทนเชิงปฏิบัติอยู่ในคอลัมน์ standard error ผลต่างระหว่างตำแหน่งภายในคนมี SE 0.43 เพราะออฟเซ็ตที่ถูกแชร์ตัดกัน ขณะที่ค่าเฉลี่ยของตำแหน่งมี 0.50 และ contrast ระหว่างกลุ่มที่ตำแหน่งเดียวมี 0.71 โดยทั้งสามค่าเป็นค่าจากสูตรปิดของโมเดลสมดุลที่ไม่มี covariate
• การตัดสินว่าควรอ้าง matrix ตัวไหนมาจากคำถามวิจัยของคุณ ว่าเป็นคำถามระดับบุคคลหรือระดับประชากร ไม่ใช่จากว่าโปรแกรมพิมพ์อะไรออกมาก่อน

ตอนต่อไป

ตอนที่ 4 จะแทนที่เลขคณิตที่คำนวณด้วยมือทั้งหมดของวันนี้ด้วยสมการเดียว คือ $V_i = Z_i G Z_i' + R_i$ และแสดงให้เห็นว่า mixed model ทุกตัวที่คุณจะ fit ในชีวิตนี้ ล้วนแก้ที่หนึ่งในสองก้อนนั้นเท่านั้น: V = ZGZ′ + R: สมการเดียวที่อยู่เบื้องหลัง mixed model ทุกตัว

เอกสารอ้างอิง

1. Zeger SL, Liang KY, Albert PS. Models for longitudinal data: a generalized estimating equation approach. Biometrics. 1988;44(4):1049–1060.