Compound Symmetry กับ ICC: ออฟเซ็ตเดียว correlation เดียว
On this page
บทคัดย่อ
ตอนที่ 1 พิสูจน์ว่าการวัดสองครั้งที่แชร์ค่าชดเชยประจำตัวค่าเดียวกันมี covariance เท่ากับ between-person variance พอดี ซึ่งเติมได้เพียงหนึ่งช่องจากสิบหกช่อง บทความนี้เติมอีกสิบห้าช่อง เมื่อมี offset ร่วมค่าเดียวและ residual ที่อิสระและ variance เท่ากัน covariance matrix ของการวัดสี่ตำแหน่งจากคนหนึ่งคนจะมี 10.00 บนเส้นทแยงมุมและ 6.25 นอกเส้นทแยงมุมทุกช่อง เรียกว่า compound symmetry หารด้วยผลคูณของ standard deviation แล้วได้ correlation เท่ากันทุกคู่คือ 0.625 นั่นคือ intraclass correlation หรือสัดส่วน variance ระหว่างบุคคล design effect ตีราคาการ cluster จน 320 แถวเหลือข้อมูลราว 111 แถวอิสระ และเห็นว่า compound symmetry เป็นสมมติฐานสองอย่าง ไม่ใช่อย่างเดียว
ตอนที่ 2 จาก 8 ของซีรีส์ หนึ่งค่าต่อหนึ่งคน: เข้าใจ Linear Mixed Model ตั้งแต่รากฐาน. ตอนที่ 1 — ค่าชดเชยส่วนตัวที่ถูกแชร์ พาเราไปเห็น $b_i$ ในข้อมูลดิบก่อนที่จะ fit โมเดลใด ๆ แล้วพิสูจน์ในสามบรรทัดว่า การวัดสองครั้งที่แชร์ตัวเลขเดียวกันจะมี covariance เท่ากับ $\tau^2$ พอดี การพิสูจน์นั้นเติมช่องเดียวในตารางที่มีทั้งหมดสิบหกช่อง ตอนนี้เราจะเติมอีกสิบห้าช่องที่เหลือ ตั้งชื่อให้อัตราส่วนที่โผล่ออกมาจากตารางนั้น และส่งตัวเลขที่คุณจะต้องใช้ในวันที่ต้องคำนวณขนาดตัวอย่างของงานวิจัยแบบวัดซ้ำ ส่วน ตอนที่ 3 — Conditional หรือ Marginal? จะพาไปอ่าน matrix ตัวเดียวกันนี้สองแบบพร้อมกัน
ตัวเลขทุกตัวในซีรีส์นี้มาจากข้อมูลจำลองที่สร้างขึ้นเพื่อการสอน และตอนหลัง ๆ จะมีชุดจำลองรูปแบบอื่นที่ระบุกำกับไว้ชัดเจน ไม่ใช่ผลการศึกษาจริง ไม่ได้อธิบายประชากรจริง และไม่ควรถูกอ้างอิงเป็นหลักฐานทางสรีรวิทยาผิวหนัง
เราอยู่ตรงไหน: หนึ่งช่องที่เติมแล้ว กับอีกสิบห้าช่องที่ยังว่าง
ตอนที่ 1 ต้องการตัวเลขตัวเดียว คือ "การวัดสองครั้งจากคนเดียวกันมีอะไรร่วมกัน" ส่วนตอนนี้ต้องการสิบหกตัว เพราะการวัดสี่ครั้งจับคู่กันเอง — รวมทั้งจับคู่กับตัวมันเอง — ได้ทั้งหมดสิบหกคู่ คำว่า "matrix" ตรงนี้ไม่ได้ทำอะไรลึกลับเลย มันคือตารางสี่คูณสี่ วางแบบเดียวกับตาราง drug interaction ที่มียาสี่ตัวเดิมเรียงลงมาด้านข้างและเรียงข้ามไปด้านบน
ตัวอย่างที่ใช้ตลอดทั้งซีรีส์คือการศึกษาจำลองแบบ cross-sectional เรื่องการทำงานของ skin barrier ในผู้ใหญ่ 80 คน แบ่งเป็นผู้ที่เป็น atopic dermatitis (AD) ระดับปานกลาง 40 คน และผู้ที่ไม่มีโรคภูมิแพ้ใด ๆ อีก 40 คน โดยวัด transepidermal water loss (TEWL, g·m⁻²·h⁻¹) ด้วยเครื่อง closed-chamber evaporimeter ที่ผิวหนังซึ่งไม่มีรอยโรค 4 ตำแหน่งมาตรฐาน ได้แก่ forearm, hand, shin และ back เรียงลำดับเดียวกัน ในห้องเดียวกัน ภายในการมาตรวจครั้งเดียว รวมเป็น 320 observation จากคน 80 คน และสมดุลอย่างสมบูรณ์ ข้อมูลถูกสร้างขึ้นจาก
\[ \text{tewl}_{ij} \;=\; \mu_{j,\,g(i)} \;+\; b_i \;+\; e_{ij}, \qquad b_i \sim N(0,\ \tau^2), \qquad e_{ij} \sim N(0,\ \sigma^2), \qquad b_i \perp e_{ij} \]
โดยกำหนด between-person variance $\tau^2 = 6.25$ (SD 2.5) และ within-person residual variance $\sigma^2 = 3.75$ (SD 1.94) อ่านเป็นภาษาคนคือ $b_i$ บอกว่าผู้เข้าร่วมคนที่ $i$ อยู่ห่างจากโปรไฟล์ของประชากรเท่าไรในทุกตำแหน่ง ส่วน $e_{ij}$ บอกว่าตำแหน่งหนึ่ง ๆ อยู่ห่างจากโปรไฟล์ของตัวเขาเองเท่าไร
ผู้เข้าร่วมหนึ่งคนให้ข้อมูลมาสี่แถว สิ่งที่เราต้องการจึงเป็นตารางขนาด $4\times4$ ที่เก็บ variance ของการวัดแต่ละครั้งไว้บนเส้นทแยงมุม และเก็บ covariance ของแต่ละคู่ไว้นอกเส้นทแยงมุม ตอนที่ 1 ให้คำตอบมาแล้วหนึ่งช่อง อีกสิบห้าช่องที่เหลือไม่ต้องใช้แนวคิดใหม่เลยแม้แต่อย่างเดียว ใช้แค่ variance component สองตัวเดิมมาจัดวางเท่านั้น
ลองคิดว่า $\tau^2$ และ $\sigma^2$ คือปุ่มหมุนสองปุ่มบนแผงควบคุม และ matrix คือหน้าจอที่วาดตัวเองใหม่ทุกครั้งที่ปุ่มถูกหมุน ทั้งบทความนี้คือคู่มือการใช้ปุ่มหมุนชุดนั้น
เติม matrix ทีละช่อง
ก่อนลุยของยาก: การเติม covariance matrix เป็นงานลงบัญชี ไม่ใช่ทฤษฎีใหม่ ลองนึกภาพตารางสี่คูณสี่ที่มี
forearm,hand,shin,backเรียงลงมาด้านข้างและเรียงข้ามไปด้านบนเหมือนกัน ช่องที่อยู่บนเส้นทแยงมุมถามว่า "ตำแหน่งนี้ตำแหน่งเดียวแกว่งมากแค่ไหน" ส่วนช่องนอกเส้นทแยงมุมถามว่า "สองตำแหน่งนี้ขยับไปด้วยกันมากแค่ไหน" ตอนที่ 1 ตอบทั้งสองคำถามไปเรียบร้อยแล้ว งานที่เหลือคือเขียนคำตอบลงในช่องของมันเท่านั้น
เริ่มจากเส้นทแยงมุมก่อน การวัดหนึ่งครั้งคือค่าคงที่บวกกับส่วนที่สุ่มสองก้อนซึ่งเป็นอิสระต่อกัน และค่าคงที่ไม่มีส่วนใด ๆ ใน variance
\[ \operatorname{Var}(Y_{ij}) \;=\; \operatorname{Var}(b_i + e_{ij}) \;=\; \operatorname{Var}(b_i) + \operatorname{Var}(e_{ij}) \;=\; \tau^2 + \sigma^2 \;=\; 6.25 + 3.75 \;=\; 10.00 \]
สังเกตว่าฝั่งขวาของสมการไม่มี index ของตำแหน่งอยู่เลย ทั้ง forearm, hand, shin และ back จึงมี marginal variance เท่ากันหมดที่ 10.00 หน่วย TEWL ยกกำลังสอง ไม่ใช่เพราะผิวหนังทั้งสี่ตำแหน่งเหมือนกันในทางสรีรวิทยา แต่เพราะการจำลองนี้เขียนขึ้นโดยให้ทุกตำแหน่งใช้ $\sigma^2$ ค่าเดียวกัน
ต่อไปคือช่องนอกเส้นทแยงมุม ซึ่งก็คือผลลัพธ์ของตอนที่ 1 ที่เขียนซ้ำให้ครบทุกคู่
\[ \operatorname{Cov}(Y_{ij}, Y_{ik}) \;=\; \operatorname{Cov}(b_i + e_{ij},\ b_i + e_{ik}) \;=\; \operatorname{Var}(b_i) \;=\; \tau^2 \;=\; 6.25 \qquad (j \neq k) \]
residual สองตัวเป็นอิสระทั้งต่อกันเองและต่อ $b_i$ เทอมไขว้ทั้งสามตัวจึงหายไปหมด เหลือเพียง variance ของค่าที่ถูกแชร์ และอีกครั้งที่ฝั่งขวาไม่มี index เพราะ $b_i$ เข้าไปในแถว forearm และแถว back ด้วยค่าเดียวกันกับที่เข้าไปในแถว hand และแถว shin ไม่มีคู่ไหนพิเศษกว่าคู่ไหน สิบสองช่องนอกเส้นทแยงมุม ตัวเลขเดียว
เมื่อประกอบเข้าด้วยกัน สำหรับผู้เข้าร่วมคนใดก็ตาม เรียงตามลำดับ forearm / hand / shin / back จะได้
\[ V \;=\; \begin{pmatrix} 10.00 & 6.25 & 6.25 & 6.25\\ 6.25 & 10.00 & 6.25 & 6.25\\ 6.25 & 6.25 & 10.00 & 6.25\\ 6.25 & 6.25 & 6.25 & 10.00 \end{pmatrix} \]
ทุกช่องบนเส้นทแยงมุมคือ $\tau^2 + \sigma^2$ และทุกช่องนอกเส้นทแยงมุมคือ $\tau^2$ เท่านี้คือเนื้อหาทั้งหมดของ matrix นี้
สิ่งที่ ไม่ได้ อยู่ใน $V$ ก็น่าสนใจไม่แพ้กัน ค่าเฉลี่ยของทั้งสองกลุ่มในข้อมูลจำลองนี้ต่างกันไปตามตำแหน่ง และผลต่างระหว่างกลุ่มไม่เท่ากันในแต่ละตำแหน่ง แปลว่า site × group interaction มีอยู่จริงในการจำลองชุดนี้ตั้งแต่ตอนสร้างข้อมูล
| ตำแหน่ง | control (g·m⁻²·h⁻¹) | AD (g·m⁻²·h⁻¹) | ผลต่าง AD − control |
|---|---|---|---|
| forearm | 12.0 | 18.0 | +6.0 |
| hand | 16.0 | 24.0 | +8.0 |
| shin | 10.0 | 13.0 | +3.0 |
| back | 14.0 | 19.0 | +5.0 |
ตัวเลขทั้งแปดตัวนั้นไม่ปรากฏใน $V$ เลยสักตัวเดียว mean structure กับ covariance structure เป็นคำกล่าวคนละเรื่องเกี่ยวกับข้อมูลชุดเดียวกัน อย่างแรกบอกว่าการวัด "ตั้งอยู่ที่ไหน" อย่างที่สองบอกว่าการวัด "ขยับไปด้วยกันอย่างไร" รอบตำแหน่งที่มันตั้งอยู่ ผู้เข้าร่วมกลุ่ม AD กับกลุ่ม control ในข้อมูลจำลองนี้จึงมีโปรไฟล์ที่คาดหวังต่างกันคนละเรื่อง แต่มี covariance matrix ขนาด $4\times4$ หน้าตาเหมือนกันเป๊ะ
มี matrix มาตรฐานสองตัวที่ช่วยเขียนรูปแบบนี้ให้สั้นลง ให้ $J_k$ คือ matrix ขนาด $k\times k$ ที่ทุกช่องเป็นหนึ่ง และ $I_k$ คือ identity matrix
\[ V \;=\; \tau^2 J_k + \sigma^2 I_k \;=\; 6.25\,J_4 + 3.75\,I_4 \]
เทอมแรกทา $\tau^2$ ลงไปในทั้งสิบหกช่อง เพราะออฟเซ็ตที่ถูกแชร์ก็ถูกแชร์กับทุกคู่ รวมถึงคู่ของการวัดกับตัวมันเอง ส่วนเทอมที่สองเติม $\sigma^2$ เฉพาะสี่ช่องบนเส้นทแยงมุม เพราะ residual ไม่ได้ covary กับอะไรเลยนอกจากตัวมันเอง
Compound symmetry คือสมมติฐานเรื่องสองอย่าง ไม่ใช่อย่างเดียว
matrix ที่ราบเรียบข้างบนตั้งอยู่บนคำสัญญาสองข้อที่แยกจากกัน และผู้อ่านส่วนใหญ่มักสังเกตเห็นแค่ข้อแรก คำสัญญาข้อแรกคือทุกคู่ตำแหน่งเกาะกันแน่นเท่ากันหมด คำสัญญาข้อที่สองคือทุกตำแหน่งแกว่งมากเท่ากันตั้งแต่แรก ให้ถือสองข้อนี้แยกกันไว้ขณะอ่านต่อ เพราะในข้อมูลจริง ข้อที่สองพังบ่อยกว่าข้อแรกมาก
covariance matrix ที่มีค่าบนเส้นทแยงมุมเท่ากันหมด และมีค่านอกเส้นทแยงมุมเท่ากันหมด เรียกว่ามีโครงสร้างแบบ compound symmetry ส่วน correlation matrix ที่ตามมาเรียกว่า exchangeable เพราะสลับชื่อทั้งสี่ตำแหน่งอย่างไรก็ได้ matrix หน้าตาเดิม สองชื่อนี้อธิบายรูปร่างเดียวกัน และรูปร่างนี้มีลักษณะสำคัญสองข้อที่ควรแยกออกจากกัน เพราะในทางปฏิบัติมีข้อหนึ่งที่พังบ่อยกว่าอีกข้อมาก
เงื่อนไขที่สร้าง compound symmetry จึงไม่ใช่ "มี random intercept" เฉย ๆ แต่คือ random intercept และ residual variance ค่าเดียวที่ pooled และเป็นอิสระ การพิสูจน์ในตอนที่ 1 ให้เงื่อนไขข้อแรกมา ส่วนบรรทัด $\operatorname{Var}(Y_{ij}) = \tau^2 + \sigma^2$ แอบใช้เงื่อนไขข้อที่สองไปเงียบ ๆ เพราะถ้าแต่ละตำแหน่งมี $\sigma_j^2$ ของตัวเอง ฝั่งขวาจะยังมี $j$ ค้างอยู่ ตอนที่ 6 จะคง random intercept ไว้เหมือนเดิม แต่ให้แต่ละตำแหน่งมี residual variance ของตัวเอง แล้วจะเห็นว่าทั้งสิบสองช่องนอกเส้นทแยงมุมยังอ่านได้ 6.25 เท่าเดิม ในขณะที่ correlation กระจายออกจากกัน
มีสองกรณีขอบที่ควรพูดถึงไว้ด้วย เพื่อไม่ให้ข้อสรุปข้างต้นถูกกล่าวเกินจริงในทางกลับกัน ถ้าวัดคนละสองครั้ง จะมีช่องนอกเส้นทแยงมุมเพียงช่องเดียว ซึ่งก็ "เท่ากับตัวมันเอง" อยู่แล้วไม่ว่าเส้นทแยงมุมทั้งสองช่องจะเป็นเท่าไร และถ้า $\tau^2 = 0$ correlation ทุกคู่ก็เป็นศูนย์ด้วยเหตุผลตื้น ๆ แบบเดียวกัน ตั้งแต่ $k \geq 3$ ขึ้นไปและเมื่อ $\tau^2 > 0$ เท่านั้น ที่การมี correlation เท่ากันจะเรียกร้องให้ variance บนเส้นทแยงมุมเท่ากันจริง ๆ ซึ่งเป็นกรณีที่ซีรีส์นี้พูดถึง อีกข้อหนึ่งที่ต้องกำกับไว้คือ ค่า 6.25 ที่ราบเรียบนอกเส้นทแยงมุมนั้นได้มาภายใต้เงื่อนไขว่า residual ไม่ covary กันเอง ถ้าผ่อนเงื่อนไขข้อนี้ ทุกช่องนอกเส้นทแยงมุมจะกลายเป็น $\tau^2$ บวกกับ residual covariance ซึ่งก็คือประตูที่ตอนที่ 6 เปิดออก ตอนที่นับว่า matrix ขนาด $4\times4$ จ่ายค่า parameter ได้กี่ตัวกันแน่
ก่อนจะคำนวณต่อ มีเรื่องหนึ่งที่ต้องพูดให้ชัด โปรแกรมไม่ได้เลือกรูปแบบ correlation นี้ให้คุณ และไม่ได้ "เปิดสวิตช์" correlation ขึ้นมาเพราะเห็นว่าข้อมูลเป็นแบบวัดซ้ำ รูปแบบนี้เป็นผลทางพีชคณิตของโครงสร้างที่คุณระบุเอง คือ random = ~ 1 | id ประกอบกับ residual ค่าเดียวที่ pooled และเป็นอิสระ ซึ่งโปรแกรมใส่ให้เองถ้าคุณไม่ได้ขออย่างอื่น และมันจะออกมาหน้าตาแบบนี้เหมือนเดิมแม้ข้อมูลจริงจะขัดแย้งกับมันก็ตาม
จาก covariance ไปเป็น correlation
ก่อนลุยของยาก: covariance เป็นตัวเลขที่ไม่เป็นมิตร เพราะหน่วยของมันเป็นหน่วยยกกำลังสอง และไม่มีใครมี intuition กับคำว่า "6.25 หน่วย TEWL ยกกำลังสอง" ส่วน correlation คือข้อมูลชุดเดียวกันที่ถูกปรับสเกลมาอยู่บนแกน −1 ถึง +1 ซึ่งเป็นสเกลที่เราอ่านกันอยู่แล้วในทุกเปเปอร์ ทำนองเดียวกับการแปลงค่า creatinine ดิบให้เป็น eGFR เพื่อให้เทียบกับอย่างอื่นได้ บรรทัดข้างล่างคือการปรับสเกลนั้น และใน matrix ผืนนี้มันคือการหารครั้งเดียวที่ทำซ้ำหกครั้ง
covariance ตีความตรง ๆ ไม่ได้ เพราะหน่วยของมันเป็นหน่วยของการวัดยกกำลังสอง เราจึงหารแต่ละช่องด้วยรากที่สองของผลคูณของ variance ทั้งสองตัวที่เกี่ยวข้อง
\[ \operatorname{Corr}(Y_{ij}, Y_{ik}) \;=\; \frac{\operatorname{Cov}(Y_{ij},Y_{ik})}{\sqrt{\operatorname{Var}(Y_{ij})\operatorname{Var}(Y_{ik})}} \;=\; \frac{6.25}{\sqrt{10.00 \times 10.00}} \;=\; \frac{6.25}{10.00} \;=\; 0.625 \]
เพราะ variance ทั้งสองตัวในตัวส่วนเท่ากับ 10.00 เหมือนกัน รากที่สองจึงเป็น 10.00 และการหารนี้ก็เป็นการหารเดียวกันสำหรับทั้งหกคู่ correlation matrix จึงราบเรียบเท่ากับ covariance matrix
\[ \operatorname{Corr} \;=\; \begin{pmatrix} 1 & .625 & .625 & .625\\ .625 & 1 & .625 & .625\\ .625 & .625 & 1 & .625\\ .625 & .625 & .625 & 1 \end{pmatrix} \]
การวัดสองครั้งจากผู้เข้าร่วมคนเดียวกันในข้อมูลจำลองนี้ correlate กันที่ 0.625 ไม่ว่าคุณจะหยิบตำแหน่งไหนมาสองตำแหน่ง ส่วนการวัดจากคนละคน correlate กันที่ศูนย์ เพราะไม่ได้แชร์ $b$ ตัวใดร่วมกัน
ลองสังเกตขั้นตอนที่ทำให้ทุกอย่างง่ายขนาดนี้ ตัวส่วนของทุกคู่เท่ากันหมด covariance matrix กับ correlation matrix จึงบอกข้อมูลชุดเดียวกันต่างกันแค่ scale เดียว ความสะดวกตรงนี้เป็นคุณสมบัติของการที่เส้นทแยงมุมเท่ากัน ไม่ใช่คุณสมบัติของ random intercept และตอนที่ 6 ก็คือเรื่องราวของสิ่งที่เกิดขึ้นเมื่อความสะดวกนี้ถูกริบไป
ก่อนจะตั้งชื่อให้ตัวเลขนี้ ลองหมุนปุ่มด้วยตัวเองก่อน
เครื่องมือสำรวจนี้เปิดมาที่จุดเดียวกับที่บทความนี้เริ่ม คือ $\tau^2 = 6.25$, $\sigma^2 = 3.75$ และ $k = 4$ ลองดัน slider ของ $\tau^2$ ขึ้น แล้วทุกช่องของ matrix จะขยับขึ้นพร้อมกันทั้งบนเส้นทแยงมุมและนอกเส้นทแยงมุม แต่ถ้าดัน slider ของ $\sigma^2$ ขึ้นแทน จะมีเพียงสี่ช่องบนเส้นทแยงมุมที่ขยับ ส่วนอีกสิบสองช่องอยู่นิ่งสนิท ปุ่ม conditional | marginal ให้คงไว้ที่ marginal ไปก่อน เพราะสวิตช์นั้นเป็นเรื่องของตอนที่ 3 แล้วคอยดูตัวเลขที่มุมจอขณะที่คุณเลื่อน slider ทีละนิด ตัวเลขตัวนั้นแหละคือสิ่งที่หัวข้อถัดไปจะพูดถึง
ตัวเลขนี้มีชื่อ: intraclass correlation
นักระบาดวิทยาเป็นเจ้าของตัวเลขนี้อยู่แล้วในอีกชื่อหนึ่ง มันคือ ICC ตัวเดียวกับที่โผล่ในงาน cluster-randomised trial ซึ่ง cluster เป็นคลินิกแทนที่จะเป็นคน และในที่นี้มันมาถึงโดยไม่ต้องทำอะไรเพิ่มเลย คือเอาส่วนที่ถูกแชร์หารด้วยทั้งก้อน
\[ \rho \;=\; \operatorname{ICC} \;=\; \frac{\tau^2}{\tau^2+\sigma^2} \;=\; \frac{6.25}{10.00} \;=\; 0.625 \]
อัตราส่วนนี้คือสัดส่วนของ total marginal variance ที่อยู่ ระหว่าง คน มากกว่าที่จะอยู่ภายในคนเดียวกัน และมันมีค่าเท่ากับ correlation นอกเส้นทแยงมุมที่เพิ่งคำนวณไปเป๊ะ ๆ นี่คือเหตุผลที่มันถูกเรียกว่า intraclass correlation คือ correlation ระหว่างสมาชิกสองตัวที่อยู่ใน class เดียวกัน ซึ่งในที่นี้คือการวัดสองครั้งที่เป็นของผู้เข้าร่วมคนเดียวกัน
ในชุดข้อมูลจำลองนี้ ความแปรปรวนของ TEWL ร้อยละ 62.5 คือเรื่อง "กำลังวัดใครอยู่" ส่วนอีกร้อยละ 37.5 คือสิ่งที่ยังขยับอยู่ภายในคนคนเดียวกัน หลังจากที่ค่าเฉลี่ยตายตัวของแต่ละคู่ตำแหน่ง-กลุ่มถูกดึงออกไปแล้ว นั่นคือระยะที่ตำแหน่งหนึ่ง ๆ อยู่ห่างจากโปรไฟล์ที่คาดหวังของผู้เข้าร่วมคนนั้นเอง บวกกับความคลาดเคลื่อนของเครื่องวัด ความแตกต่างเชิงระบบระหว่างตำแหน่งไม่ได้อยู่ในร้อยละ 37.5 ก้อนนี้เลย เพราะมันถูกดึงออกไปพร้อมกับ mean structure ตั้งแต่ต้น ซึ่งก็คือเหตุผลเดียวกับที่ไม่มี index ของตำแหน่งหลงเหลืออยู่ใน $V$ และเป็นเหตุผลที่ควรเลี่ยงคำพูดสั้น ๆ ว่า "ที่เหลือคือเรื่องตำแหน่ง" ตัวเลขสองตัวนี้เป็นคำอธิบายของดีไซน์การศึกษา ไม่ใช่การค้นพบเกี่ยวกับผิวหนัง
ทำไมนักระบาดวิทยาคลินิกต้องสนใจ: 320 แถว ได้ข้อมูลราว 111 แถว
ก่อนลุยของยาก: หัวข้อนี้คือหัวข้อที่คณะกรรมการจริยธรรมหรือกรรมการทุนวิจัยจะถาม ใจความคือการวัด 320 ครั้งไม่ได้เท่ากับข้อมูลอิสระ 320 ชิ้น ทำนองเดียวกับการถามผู้ป่วยคนเดียวคำถามเดิมสี่ครั้ง ซึ่งไม่เท่ากับการถามผู้ป่วยสี่คนคนละหนึ่งครั้ง การคำนวณข้างล่างคือการตีราคาส่วนต่างนั้น แต่อย่างที่ครึ่งหลังของหัวข้อนี้จะย้ำ ราคานี้ถูกเก็บกับการเปรียบเทียบเพียงบางแบบที่ชุดข้อมูลนี้สร้างได้เท่านั้น
ICC ไม่ได้บอกแค่ว่าความแปรปรวนไปกองอยู่ตรงไหน แต่ยังเป็นอัตราแลกเปลี่ยนระหว่างจำนวนแถวในชุดข้อมูลกับปริมาณข้อมูลที่เป็นอิสระจริง ๆ ที่แถวเหล่านั้นให้ — สำหรับค่าประมาณแบบหนึ่งเท่านั้น ดังที่ท้ายหัวข้อนี้จะย้ำอีกครั้ง สำหรับ cluster ขนาด $k$ ที่มี exchangeable correlation เท่ากับ $\rho$ ค่า design effect คือ
\[ \operatorname{DE} \;=\; 1 + (k-1)\rho \;=\; 1 + 3 \times 0.625 \;=\; 1 + 1.875 \;=\; 2.875 \]
และเมื่อเอาจำนวน observation ดิบหารด้วยค่านี้ ก็จะได้ effective sample size
\[ n_{\text{eff}} \;=\; \frac{320}{2.875} \;=\; 111.3 \;\approx\; 111 \]
การวัด 320 ครั้งจึงให้ข้อมูลเทียบเท่ากับการวัดที่เป็นอิสระต่อกันประมาณ 111 ครั้ง แต่เฉพาะกับค่าประมาณที่เฉลี่ยสี่แถวของผู้เข้าร่วมคนเดียวกันเข้าด้วยกันเท่านั้น เช่น ค่าเฉลี่ย TEWL รวม หรือผลต่าง AD−control ที่รวบมาจากทั้งสี่ตำแหน่ง สำหรับค่าประมาณเหล่านั้น สี่แถวที่ผู้เข้าร่วมหนึ่งคนให้มาไม่ใช่การมองประชากรสี่ครั้งอย่างอิสระ แต่เป็นการมองคน ๆ เดียวสี่ครั้ง โดยที่ครั้งที่สอง สาม และสี่ ต่างก็เป็นการพูดซ้ำบางส่วนของครั้งแรก
อย่างไรก็ตาม ภาษีก้อนนี้เก็บจากตัวประมาณค่า ไม่ได้เก็บจากชุดข้อมูล และควรระบุให้ชัดว่าตัวประมาณค่าแบบไหนต้องจ่าย เพราะกฎเวอร์ชันหลวม ๆ ถูกพูดต่อกันมามากพอที่จะต้องค้านไว้ตรงนี้ ค่าประมาณที่รวบแถวซ้ำของผู้เข้าร่วมคนเดียวกันเข้าด้วยกันต้องจ่ายเต็ม 2.875 ด้วยเหตุผลที่เพิ่งอธิบายไป ส่วนค่าประมาณที่หยิบมาคนละหนึ่งแถวจากคนสองชุดที่ไม่ทับกัน เช่น ผลต่าง AD−control เฉพาะที่ตำแหน่ง shin ไม่ต้องจ่ายอะไรเลย ทั้งที่มันเป็นการเปรียบเทียบระหว่างคนเต็มตัว เพราะคน 40 คนให้ค่า shin คนละหนึ่งค่าในกลุ่มหนึ่ง และอีก 40 คนที่ไม่ซ้ำกันให้คนละหนึ่งค่าในอีกกลุ่มหนึ่ง ไม่มีการวัดครั้งใดถูกนับซ้ำ และการเปรียบเทียบ ภายใน คนเดียวกัน เช่น forearm เทียบกับ back ของผู้เข้าร่วมคนเดิม ยิ่งได้เปรียบกว่านั้น เพราะออฟเซ็ตที่แชร์กันหักล้างหายไปจากผลต่าง เมื่อตรึง total marginal variance ไว้ ความแม่นยำของมันจึงดีขึ้นแทนที่จะแย่ลงเมื่อ $\rho$ สูงขึ้น สรุปอย่างซื่อตรงจึงต้องระบุทิศทาง ไม่ใช่พูดรวม ๆ ว่าการเกิด cluster ทำให้เสียข้อมูลตรงที่แถวของคนคนหนึ่งถูกเฉลี่ยรวมกัน และให้ข้อมูลเพิ่มตรงที่แถวเหล่านั้นถูกนำมาลบกัน และตอนที่ 8 จะวาง standard error เหล่านั้นไว้ข้างกันให้เห็นชัด ๆ ใน output
ในแง่การวางแผนวิจัย นี่แปลว่าค่า ICC ที่คาดการณ์ไว้อาจจำเป็นต้องระบุให้ชัดในหัวข้อ sample size และขนาดตัวอย่างเป้าหมายอาจต้องถูกขยายด้วย design effect ที่สอดคล้องกัน เมื่อใดก็ตามที่ค่าประมาณหลักเป็นการเฉลี่ยการวัดซ้ำของผู้เข้าร่วมแต่ละคน โครงร่างวิจัยที่นับการวัด 320 ครั้งเป็น 320 observation อิสระ โดยไม่ถามก่อนว่าการวิเคราะห์หลักจะคำนวณ contrast ตัวไหน อาจประเมินความแม่นยำที่จะได้จริงสูงเกินไปอย่างมาก และในทางกลับกัน โครงร่างที่ขยายขนาดตัวอย่างให้ทุกการเปรียบเทียบแบบเหมารวมก็อาจเก็บผู้เข้าร่วมมากเกินความจำเป็น
เส้นแบ่ง: ICC ตัวนี้ไม่ใช่ ICC ของ reliability
ผู้อ่านจำนวนมากรู้จัก ICC ครั้งแรกจากงานวิจัยด้าน reliability ที่ผู้วัดสองคนหรือการวัดสองครั้งทำกับ subject กลุ่มเดียวกัน แล้วรายงาน ICC เป็นหลักฐานว่าเครื่องมือวัดเชื่อถือได้ สูตรที่ใช้คืออัตราส่วนเดียวกัน คือ between-subject variance หารด้วย total variance แต่หน้าที่ของมันคนละเรื่องกันโดยสิ้นเชิง
ในงาน reliability ค่า between-subject variance คือ สัญญาณ ส่วน residual คือ measurement error และค่าสัมประสิทธิ์ที่ได้เป็นคุณสมบัติของเครื่องมือในประชากรที่ประเมิน ด้วยเหตุนี้วรรณกรรมสายนั้นจึงยืนกรานให้ระบุ model, definition และ type ก่อนที่ใครจะอ่านตัวเลขของคุณ แต่ใน mixed model สำหรับข้อมูลแบบ cluster ค่า $\tau^2$ เป็น nuisance-structure parameter ที่มีหน้าที่อธิบายการพึ่งพากันระหว่างแถว และ $\sigma^2$ ก็ไม่ได้เป็น measurement error ล้วน ๆ เพราะในข้อมูลจำลองชุดนี้มันบรรจุความแปรปรวนจริงระหว่างตำแหน่งภายในคนเดียวกันเอาไว้ด้วย ปนกับความคลาดเคลื่อนของเครื่องวัด ค่า ICC 0.625 ตรงนี้จึงเป็นคำกล่าวว่าแถวข้อมูลเกาะกลุ่มกันอย่างไร และไม่ควรถูกรายงานหรืออ่านว่า "เครื่อง evaporimeter มี reliability ระดับปานกลาง"
เวลาอ่านเปเปอร์ของคนอื่น คำถามแรกต่อค่า ICC ที่รายงานมาจึงไม่ใช่ว่า 0.63 ถือว่าดีหรือไม่ แต่คือค่าสัมประสิทธิ์ตัวนั้นถูกจ้างมาทำหน้าที่ไหนในสองหน้าที่นี้
ฝั่ง reliability ของตระกูลนี้ถูกอธิบายไว้อย่างละเอียดใน Continuous agreement: ICC, SEM และ Bland–Altman พีชคณิตเดียวกัน คนละคำถาม และคนละภาระในการรายงาน
หมุนปุ่มไปสุดทั้งสองด้าน
วิธีที่ทำให้เห็นความหมายของ 0.625 ชัดที่สุดคือ ตรึง total marginal variance ไว้ที่ 10.00 แล้วเลื่อนสัดส่วนการแบ่งระหว่าง component ทั้งสองไปสุดทางทั้งสองข้าง ค่าทั้งสองกรณีคำนวณจากสูตรชุดเดิมที่ใช้มาทั้งบทความ เปลี่ยนแค่การจัดสรรเท่านั้น
| ตำแหน่งปุ่มหมุน | $\tau^2$ | $\sigma^2$ | $\rho$ | design effect | $n_{\text{eff}}$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\rho \to 0$ | 0 | 10.00 | 0 | 1 | 320 |
| ค่าที่ใช้จำลอง | 6.25 | 3.75 | 0.625 | 2.875 | ≈ 111 |
| $\rho \to 1$ | 10.00 | 0 | 1 | 4 | 80 |
ที่ปลายด้านซ้าย $V = 10.00\,I_4$ ช่องนอกเส้นทแยงมุมว่างเปล่า แถวจากคนเดียวกันไม่ได้เหมือนกันมากไปกว่าแถวจากคนละคน และ mixed model ก็ยุบลงไปหา ordinary linear regression ส่วนที่ปลายด้านขวา $V = 10.00\,J_4$ ทุกช่องอ่านได้ 10.00 correlation ทุกคู่เท่ากับ 1 ผู้เข้าร่วมแต่ละคนกลายเป็นข้อมูลจุดเดียวที่ถูกบันทึกซ้ำสี่ครั้ง และ effective sample size ตกลงมาเหลือ 80 ซึ่งเท่ากับจำนวนคนในการศึกษาพอดี ค่า 0.625 ของการจำลองนี้อยู่ใกล้ปลายด้านขวามากกว่าด้านซ้าย เพราะผู้เขียนวางมันไว้ตรงนั้นเอง ไม่ใช่ด้วยเหตุผลอื่น ส่วนค่า ICC ของการศึกษาจริงจะไปอยู่ตรงไหนเป็นคำถามเชิงประจักษ์ ที่ต้องตอบด้วยข้อมูล pilot หรือค่าที่มีผู้รายงานไว้จากการวัดแบบเดียวกันในประชากรที่เทียบเคียงกันได้ ไม่ใช่สิ่งที่อนุมานเอาได้จากการที่ข้อมูลเป็นแบบวัดซ้ำ
ปลายด้านซ้ายยังมีคำเตือนเชิงปฏิบัติที่ควรจำไว้ตั้งแต่ตอนนี้ ค่า $\widehat{\tau}^{2}$ ที่ประมาณได้เท่ากับหรือใกล้ศูนย์คือ variance component ที่นั่งอยู่บนขอบของ parameter space ซึ่งเป็นที่มาของ singular fit และ boundary warning ที่จะพูดถึงในตอนที่ 5 และลำพังตัวมันเองไม่ใช่ใบอนุญาตให้ลบ random effect ออกจากดีไซน์ที่มีการวัดซ้ำจริง ๆ
อ่านค่าจาก output ของโปรแกรม
สิ่งที่เหลืออยู่เป็นงานเสมียน ไม่ใช่งานความคิด เพราะแต่ละโปรแกรมพิมพ์ตัวเลขสองตัวนี้ไว้ใต้หัวคอลัมน์คนละชื่อ และบางโปรแกรมพิมพ์รากที่สองของค่าที่สูตรต้องการจริง ๆ ซึ่งก็คือความต่างระหว่าง SD กับ variance และเป็นกับดักแบบเดียวกับการอ่านค่าแล็บผิดคอลัมน์ในใบรายงาน กติกาจึงสั้นมาก คือให้อ่านชื่อคอลัมน์ก่อนอ่านตัวเลขทุกครั้ง
สเปคที่อยู่เบื้องหลังทุกอย่างข้างบนนี้ ซึ่งซีรีส์นี้เรียกว่า Spec A เขียนได้บรรทัดเดียวในทั้งสอง dialect ของ R
# Spec A — random intercept, pooled residual variance
library(nlme)
fitA <- lme(tewl ~ site * group + age + sex + phototype,
random = ~ 1 | id, data = skin, method = "REML")
# equivalent in lme4
library(lme4)
fitA2 <- lmer(tewl ~ site * group + age + sex + phototype + (1 | id), data = skin)* Stata equivalent of Spec A
mixed tewl i.site##i.group age i.sex i.phototype || id:, remlมีสองจุดในคำสั่งข้างบนที่ควรพูดถึงก่อนจะไปอ่าน output จุดแรก โมเดลที่ fit มี age, sex และ phototype อยู่ด้วย ซึ่งสมการที่สร้างข้อมูลตอนต้นบทความไม่มี เหตุผลคือการวิเคราะห์จริงย่อมปรับค่าเหล่านี้ และเพราะตัวแปรทั้งสามคงที่ภายในผู้เข้าร่วมหนึ่งคน มันจึงไม่เปลี่ยน รูปร่าง ของ $V$ ที่พิสูจน์มาข้างต้น แม้ว่าถ้ามันมีผลจริง ส่วนหนึ่งของความแปรปรวนระหว่างคนจะย้ายออกจาก $\widehat{\tau}^{2}$ ไปอยู่ใน mean structure จุดที่สอง วิธีประมาณค่าต้องจับให้ตรงกันข้ามโปรแกรมด้วย เพราะ lme() และ lmer() ใช้ REML เป็นค่าตั้งต้น ส่วน mixed ของ Stata ใช้ maximum likelihood เป็นค่าตั้งต้น จึงต้องใส่ option reml ไว้ในคำสั่งข้างบน มิฉะนั้น variance component ที่เอามาเทียบกันก็ไม่ได้ประมาณด้วยเกณฑ์เดียวกัน
คำสั่ง VarCorr() จะพิมพ์ตาราง random effects ออกมา และ mixed ของ Stata ก็พิมพ์ตารางที่เทียบเท่ากัน ทั้งสองรายงานค่าฝั่ง between-person หนึ่งค่าและค่าฝั่ง residual อีกหนึ่งค่า และ ICC ก็คือค่าแรกหารด้วยผลบวกของทั้งสอง แต่ต้องอ่านหัวคอลัมน์ก่อน ไม่ใช่เดาเอาเอง เพราะสอง package ของ R พิมพ์ไม่เหมือนกัน VarCorr() บน object ของ lme4 แสดงคอลัมน์ Std.Dev. มาอย่างเดียว ส่วนบน object ของ nlme แสดงคอลัมน์ Variance และ StdDev มาคู่กัน และ summary() ของ lme4 ก็แสดงทั้งสองคอลัมน์อีกเช่นกัน ขณะที่ mixed ของ Stata รายงานค่า variance มาให้ตรง ๆ ใส่สูตรได้ทันที และ estat icc ก็คืนค่าอัตราส่วนนี้ให้ได้เลย นิสัยที่ปลอดภัยจึงไม่ใช่การท่องว่า package ไหนพิมพ์อะไร แต่คือการดูชื่อคอลัมน์ทุกครั้ง เลข 2.5 ในแถว intercept ที่อยู่ใต้หัวคอลัมน์ StdDev ไม่ใช่ $\tau^2$ แต่เป็นรากที่สองของมัน จึงต้องยกกำลังสองให้เป็น 6.25 ก่อนใส่เข้าสูตร ส่วนค่า residual ที่พิมพ์อยู่ข้าง ๆ เป็น 1.94 นั้นคือ $\sqrt{3.75}$ ที่ปัดเหลือสองตำแหน่ง ให้ยกกำลังสองจากค่าที่โปรแกรมเก็บไว้ ไม่ใช่จากค่าที่มันแสดง ไม่อย่างนั้นเส้นทแยงมุมจะไม่กลับมาเป็น 10.00 พอดี ICC ที่คำนวณจาก standard deviation แทนที่จะเป็น variance คือตัวเลขที่ผิด และเป็นหนึ่งในความพลาดทางเลขคณิตที่พบบ่อยที่สุดในหัวข้อวิธีการวิจัย
มีอีกข้อหนึ่งที่ต้องเตือน เพราะทั้งบทความนี้อ้างค่าที่ใช้สร้างข้อมูลราวกับว่าโมเดลที่ fit แล้วจะคืนค่าเดิมกลับมาให้ ซึ่งมันจะไม่คืน สิ่งที่ output รายงานคือ $\widehat{\tau}^{2}$ และ $\widehat{\sigma}^{2}$ อันเป็นค่าประมาณที่กระจายอยู่รอบ ๆ ค่าที่ใช้สร้างข้อมูล ไม่ใช่ค่าที่ตกลงตรงจุดนั้นพอดี ICC ที่คำนวณจาก output จริงจึงจะอยู่ใกล้ 0.625 โดยไม่เท่ากับ 0.625 และช่องว่างตรงนั้นคือความคลาดเคลื่อนของการประมาณค่า ไม่ใช่ความผิดพลาดที่ต้องตามไปไล่จับ
Compound symmetry สมเหตุสมผลตรงไหน และไม่สมเหตุสมผลตรงไหน
compound symmetry อาจเป็นสมมติฐานตั้งต้นที่สมเหตุสมผล เมื่อหน่วยที่วัดซ้ำเป็นชุดตำแหน่งการวัดจำนวนไม่มาก ตายตัว ไม่มีลำดับตามธรรมชาติ และวัดด้วยโปรโตคอลเดียวกันในการนั่งวัดครั้งเดียว ซึ่งตรงกับนิยามของสี่ตำแหน่งในการศึกษาจำลองนี้พอดี ภายใต้เงื่อนไขแบบนั้นไม่มีเหตุผลชัดเจนว่าทำไมคู่ forearm–hand ควรเหมือนกันมากกว่าคู่ shin–back และโครงสร้างแบบ exchangeable ก็ประกาศความสมมาตรนั้นอย่างซื่อตรงและประหยัด ด้วย parameter สองตัวแทนที่จะเป็นสิบตัว
แต่มันสมเหตุสมผลน้อยลงมากในสามสถานการณ์ที่จำได้ไม่ยาก ข้อแรก เมื่อมิติที่วัดซ้ำคือเวลา เพราะการวัดที่อยู่ใกล้กันมักคล้ายกันมากกว่าการวัดที่อยู่ห่างกัน และไม่มีโครงสร้าง exchangeable ตัวใดแสดงเรื่องนี้ได้ ข้อสอง เมื่อแต่ละหน่วยมีการกระจายของ residual ต่างกันอย่างเห็นได้ชัด เพราะ $\sigma^2$ ค่าเดียวที่ pooled ไว้จะอธิบายทุกหน่วยผิดพร้อมกันหมด ข้อสาม เมื่อผู้เข้าร่วมต่างกันที่ อัตรา การเปลี่ยนแปลง ไม่ใช่ต่างกันแค่ที่ระดับ เพราะ marginal variance จะกลายเป็นฟังก์ชันของเวลาและคงที่ตลอดเส้นทแยงมุมไม่ได้อีก
แต่ละสถานการณ์มีทางออกของมัน และซีรีส์นี้จะเดินไปตามลำดับ คือเพิ่มความละเอียดให้ฝั่ง random effect ซึ่งเป็นเรื่องของตอนที่ 5 หรือเพิ่มความละเอียดให้ฝั่ง residual ซึ่งเป็นเรื่องของตอนที่ 6 ไม่มีทางไหนเป็นค่าตั้งต้นที่ถูกเสมอ การเปลี่ยนโครงสร้างควรเกิดขึ้นเพราะ diagnostics ขัดแย้งกับสมมติฐาน ไม่ใช่เพราะ output ที่หน้าตาเรียบร้อยกว่ารายงานแล้วสบายใจกว่า และไม่ใช่เพราะดูว่า p-value ของ fixed effect เปลี่ยนไปทางไหน
สิ่งที่ 0.625 ไม่ได้อนุญาตให้พูด
การคำนวณที่ถูกต้องไม่ใช่สิ่งเดียวกับสมมติฐานที่ได้รับการตรวจสอบแล้ว และตัวเลขหลักของบทความนี้ชวนให้อ่านเกินไปได้สี่แบบ ซึ่งควรปฏิเสธให้ชัด ข้อแรก 0.625 ไม่ใช่ข้อเท็จจริงเกี่ยวกับสรีรวิทยาผิวหนัง แต่เป็นคุณสมบัติของดีไซน์จำลองที่ผู้เขียนเป็นคนเลือก variance component ทั้งสองตัวเอง ข้อสอง มันไม่ใช่ค่าสัมประสิทธิ์ reliability และไม่ได้บอกอะไรเลยว่าเครื่องมือจะวัดซ้ำได้ตรงกับตัวเองหรือไม่ ข้อสาม มันไม่ใช่หลักฐานว่า compound symmetry เหมาะกับข้อมูลชุดนี้ เพราะ random-intercept model ที่ fit แล้วย่อมคืน $V$ แบบ compound symmetry ออกมาโดยโครงสร้าง ไม่ว่ารูปร่างนั้นจะถูกหรือไม่ matrix ตัวนั้นจึงไม่มีทางหักล้างสมมติฐานที่สร้างมันขึ้นมาได้ ข้อสี่ ICC ที่สูงไม่ใช่ข้อบกพร่องที่ต้องหาทางกำจัด แต่เป็นข้อมูลว่าความแปรปรวนไปกองอยู่ที่ใด และ ICC ที่ต่ำก็ไม่ใช่ใบอนุญาตให้ตัด random effect ทิ้งเมื่อดีไซน์มีการ cluster จริง
ควรทำอะไรในงานวิเคราะห์ของคุณเอง
ข้อแรก รายงาน variance component ทั้งสองตัวพร้อมกับ ICC ที่คำนวณได้จากมัน แทนที่จะรายงานเพียงตัวใดตัวหนึ่งในสามตัวนี้ เพื่อให้ผู้อ่านประกอบ covariance matrix ที่คุณ fit จริงกลับขึ้นมาได้ ข้อสอง ถ้าโปรแกรมรายงานเป็น standard deviation ให้ยกกำลังสองก่อนเสมอก่อนนำไปเข้าอัตราส่วน ข้อสาม เขียนสมมติฐานเรื่อง covariance เป็นภาษาคนไว้ในหัวข้อวิธีการวิจัย ประโยคอย่าง "ใช้ random intercept ระดับผู้เข้าร่วมร่วมกับ residual variance ค่าเดียวที่ pooled ซึ่งให้ marginal covariance แบบ compound symmetry" อ่านรู้เรื่องกว่าและเดินทางไปได้ไกลกว่าการเขียนแค่ชื่อคำสั่งของโปรแกรม ข้อสี่ ในขั้นตอนออกแบบการศึกษา อาจคุ้มค่าที่จะระบุ ICC ที่คาดการณ์ไว้ และขยายขนาดตัวอย่างเป้าหมายด้วย $1+(k-1)\rho$ สำหรับค่าประมาณหลักที่เป็นการเฉลี่ยการวัดซ้ำของผู้เข้าร่วมแต่ละคน พร้อมกับระบุให้ชัดว่าการเปรียบเทียบที่ใช้คนละหนึ่งแถวต่อหนึ่งคน และการเปรียบเทียบภายในคนเดียวกัน ไม่ต้องจ่ายภาษีก้อนนี้ ข้อห้า ตรวจการกระจายของ residual ทีละหน่วยก่อนที่จะไว้ใจ $\sigma^2$ ที่ pooled ไว้ เพราะสมมติฐานข้อเดียวนี้เองที่ทำให้ matrix ทั้งผืนราบเรียบ ข้อหก พิจารณากำหนดล่วงหน้าว่าจะทำ sensitivity analysis ด้วยโครงสร้าง covariance ที่ผ่อนคลายกว่านี้ เพื่อให้คำถามที่ว่า "ถ้าเปลี่ยนโครงสร้างแล้วข้อสรุปจะเปลี่ยนไหม" ได้รับคำตอบในต้นฉบับ ไม่ใช่ในห้องสอบ
สรุปประเด็นสำคัญ
- random intercept ที่มาพร้อม residual variance ค่าเดียวที่ pooled และเป็นอิสระ จะให้ marginal covariance matrix ที่มี $\tau^2+\sigma^2 = 10.00$ ในทุกช่องบนเส้นทแยงมุม และ $\tau^2 = 6.25$ ในทุกช่องนอกเส้นทแยงมุม รูปร่างแบบนี้เรียกว่า compound symmetry
- เมื่อหาร covariance ด้วยผลคูณของ standard deviation จะได้ correlation เท่ากันทุกคู่ คือ $6.25/10.00 = 0.625$ ซึ่งก็คือ intraclass correlation
- ICC คือสัดส่วนของ variance ทั้งหมดที่อยู่ระหว่างคน ดังนั้นในชุดข้อมูลจำลองนี้ ความแปรปรวนร้อยละ 62.5 มาจากการที่กำลังวัดคนคนไหน ส่วนอีกร้อยละ 37.5 มาจากระยะที่แต่ละตำแหน่งเบี่ยงออกจากโปรไฟล์ที่คาดหวังของคนคนนั้นเอง โดยความแตกต่างเชิงระบบระหว่างตำแหน่งถูกดึงออกไปพร้อมกับค่าเฉลี่ยตายตัวเรียบร้อยแล้ว
- ที่ $k = 4$ และ $\rho = 0.625$ ค่า design effect เท่ากับ 2.875 ข้อมูลจำลอง 320 แถวจึงให้ข้อมูลราว 111 observation ที่เป็นอิสระ สำหรับค่าประมาณที่เฉลี่ยสี่แถวของแต่ละคนเข้าด้วยกัน ส่วนการเปรียบเทียบที่ใช้คนละหนึ่งแถวต่อหนึ่งคนไม่ต้องจ่ายภาษีก้อนนี้เลยแม้จะเป็นการเปรียบเทียบระหว่างคน และการเปรียบเทียบภายในคนก็ยังได้ความแม่นยำเพิ่มขึ้นจากการ cluster เดียวกันนี้
- compound symmetry เป็นสมมติฐานเรื่องสองอย่าง คือ variance เท่ากันและ covariance เท่ากัน และ output ที่ออกมาเป็น compound symmetry เป็นผลของโครงสร้างที่คุณ fit ไม่ใช่หลักฐานว่าโครงสร้างนั้นถูกต้อง
ตอนต่อไป
ตอนที่ 3 จะคง matrix ผืนนี้ไว้เหมือนเดิมทุกช่อง แล้วแสดงให้เห็นว่าโมเดลตัวเดียวกันสามารถพูดได้ทั้งว่า "การวัดทั้งสี่ครั้งเป็นอิสระต่อกัน" และ "การวัดทั้งสี่ครั้ง correlate กันที่ 0.625" โดยไม่ขัดแย้งกันเอง เพราะสองประโยคนั้นตอบคนละคำถามทางคลินิก: Conditional หรือ Marginal? สองคำถามในโมเดลเดียว
เอกสารอ้างอิง
Diggle PJ, Heagerty P, Liang KY, Zeger SL. Analysis of Longitudinal Data. 2nd ed. Oxford University Press; 2002.